Question

已知矩形EFGC（如图1）的一边EC和对角线CF分别与矩形ABCD的对角线AC及边BC重合．连接AF，取AF的中点为M，连接BM、EM．
（1）求证：MB=ME；
（2）如图2，若将（1）中的矩形EFGC绕着点C旋转一定的角度，其它条件不变，你认为（1）中的结论是否还成立？若成立请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：如图1．
∵四边形ABCD是矩形，四边形EFGC是矩形，
∴∠ABF=90°，∠FEC=90°=∠AEF，
∵M为AF中点，
∴BM=

1

2

AF，EM=

1

2

AF，
∴BM=EM；

（2）若将（1）中的矩形EFGC绕着点C旋转一定的角度，其它条件不变，则（1）中的结论还成立，理由如下：如图2．
证明：设大小矩形的中心分别为O、O′，连接BD，OM，MO′，EG．
∵M，O′分别为AF，CF的中点，
∴MO′=

1

2

AC=OB；同理EO′=

1

2

CF=OM．
∵∠ACB=∠ECF，
∴∠OAB=∠EFO′，
又∵OB=

1

2

AC=OA，
∴∠OAB=∠OBA；
同理可证∠EFO′=∠FEO′．
∴∠AOB=∠EO′F，①
又∵OM∥CF，MO′∥AC，
∴∠AOM=∠OCF=∠MO′F，②
由①，②得：∠BOM=∠MO′E，
在△BMO与△MEO′中，

OB=O′M ∠BOM=∠MO′E OM=O′E

∴△BMO≌△MEO′（SAS），
∴BM=ME．