如图.矩形OABC的顶点B在第一象限.其它顶点坐标分别为O.反比例函数y=kx的图象与直线AB交于点E.与直线BC交于点F.连接OE.OF.EF．(1)若点E与点F重合于点B.则k的值为 ,(2)若点E是AB的中点.则k= ．S△OEF ,(3)若k＜2.且S△CEF=2S△BEF.求点E的坐标,(4)在y轴上是否存在点M.使得以点M.E.F为顶点的三角形与△BEF全等?若存在.直接写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，矩形OABC的顶点B在第一象限，其它顶点坐标分别为O（0，0），A（1，0），C（0，2），反比例函数y=

（k＞0）的图象与直线AB交于点E，与直线BC交于点F，连接OE、OF、EF．
（1）若点E与点F重合于点B，则k的值为

；
（2）若点E是AB的中点，则k=

．S_△OEF

；
（3）若k＜2，且S_△CEF=2S_△BEF，求点E的坐标；
（4）在y轴上是否存在点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△BEF全等？若存在，直接写出此时点E的坐标；若不存在．说明理由．

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）先确定B点坐标为（1，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到k=2；
（2）先得到E点坐标为（1，1），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到k=1，再利用F的纵坐标为2可确定F点坐标为（

，2），则可根据S_△OEF=S_矩形ABCO-S_△AOE-S_△OCF-S_△BEF进行计算；
（3）根据三角形的面积公式有k＜2，且S_△CEF=2S_△BEF得到CF=2BF，则F点坐标为（

，2），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得k=

，则反比例函数解析式为y=

，然后利用E点的横坐标为1即可确定E点坐标；
（4）作EH⊥y轴于C，如图，设E点坐标为（1，k），则F（

，2），分类讨论：
当k＜2时，由△MFE≌△BFE得到MF=BF=1-

，ME=BE=2-k，∠FME=90°，易证得Rt△CFM∽Rt△HME，利用相似比可得到MH=k，然后在Rt△MHM中，根据勾股定理得1²+k²=（2-k）²，解得k=

，则E点坐标为（1，

）；
当k＞2时，如图，由△MFE≌△BEF得到MF=BE=k-2，ME=BF=

-1，∠FME=90°，易证得Rt△CFM∽Rt△HME，则可利用相似比得到MH=

k，在Rt△MHM中，利用勾股定理得到1²+（

k）²=（

-1）²，解得k₁=

，k₂=0（舍去），则E点坐标为（1，

）．

解答：解：（1）∵O（0，0），A（1，0），C（0，2），
而四边形ABCO为矩形，
∴B点坐标为（1，2），
∴点E与点F重合于点B，k=1×2=2；
（2）∵点E是AB的中点，
∴E点坐标为（1，1），
∴k=1×1=1，
把y=2代入y=

得

=2，解得x=

，
∴F点坐标为（

，2），
∴S_△OEF=S_矩形ABCO-S_△AOE-S_△OCF-S_△BEF
=1×2-

；
故答案为2；1，

；
（3）∵k＜2，且S_△CEF=2S_△BEF，
∴CF=2BF，
∴F点坐标为（

，2），
∴k=

×2=

，
∴反比例函数解析式为y=

，
把x=1代入y=

得y=

，

∴E点坐标为（1，

）；
（4）作EH⊥y轴于C，如图，
设E点坐标为（1，k），则F（

，2），
当k＜2时，
∵△MFE≌△BFE，
∴MF=BF=1-

，ME=BE=2-k，∠FME=90°，
∴Rt△CFM∽Rt△HME，
∴MF：ME=CF：MH，
∴MH=

•(2-k)

=k，
在Rt△MHM中，HE=1，
∴HE²+MH²=ME²，
∴1²+k²=（2-k）²，解得k=

，
∴E点坐标为（1，

）；
当k＞2时，如图，
∵△MFE≌△BEF，
∴MF=BE=k-2，ME=BF=

-1，∠FME=90°，
∴Rt△CFM∽Rt△HME，
∴MF：ME=CF：MH，
∴MH=

•(

-1)

k-2

k，
在Rt△MHM中，HE=1，
∴HE²+MH²=ME²，
∴1²+（

k）²=（

-1）²，解得k₁=

，k₂=0（舍去），
∴E点坐标为（1，

），
∴点E的坐标为（1，

）或（1，

）．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、三角形全等的性质和矩形性质；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算．

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