【题目】如图,点在上,点是外一点.切于点.连接交于点,作于点,交于点,连接.
(1)求证:是的切线;
(2)若,,求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)见解析;(2)18﹣6π
【解析】
(1)连接OB,由垂径定理得OP垂直平分AB,进而证明△APO≌△BPO,得∠PAO=∠PBO,结合PA切⊙O于点A, 即可得到结论;
(2)先证△APB是等边三角形,设OB=x,则OP=2x,由勾股定理得OB=6,结合三角形的面积公式和扇形的面积公式,即可求解.
(1)连接OB,
∵OP⊥AB,OP经过圆心O,
∴AC=BC,
∴OP垂直平分AB,
∴AP=BP,
∵OA=OB,OP=OP,
∴△APO≌△BPO(SSS),
∴∠PAO=∠PBO,
∵PA切⊙O于点A,
∴AP⊥OA,
∴∠PAO=90°,
∴∠PBO=∠PAO=90°,
∴OB⊥BP,
又∵点B在⊙O上,
∴PB是⊙O的切线;
(2)∵PA切⊙O于点A, PB切⊙O于点B,
∴PA=PB,
∵∠APB=60°,
∴△APB是等边三角形,
∴PB=AB=6,
在Rt△OPB中,
∵∠OPB=∠OPA=∠APB=30°,
∴OP=2OB,∠POB=60°,
设OB=x,则OP=2x,
由勾股定理得: x2+(6)2=(2x)2
∵x>0
∴x=6 , 即OB=6,
∴S△OPB=×BP×OB=×6×6=18,S扇DOB==6π,
∴S阴影=S△OPB﹣S扇DOB=18﹣6π.
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【题目】2022年在北京将举办第24届冬季奥运会,很多学校都开展了冰雪项目学习.如图,滑雪轨道由AB,BC两部分组成,AB,BC的长度都为200米,一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点,若AB与水平面的夹角α为20°,BC与水平面的夹角β为45°,则他下降的高度为_____米.
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【题目】某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品,若按50元/千克销售,一个月可售出500千克,销售价每涨价1元,月销售量就减少10千克.
(1)写出月销售利润(单位:元)与售价(单位:元/千克)之间的函数关系式.
(2)商场将在月销售成本不超过3000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
(3)当售价定为多少元时,会获得最大利润?求出最大利润.
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【题目】如图①,将抛物线平移到顶点恰好落在直线上,并设此时抛物线顶点的横坐标为.
(1)求抛物线的解析式(用含、的代数式表示);
(2)如图②,与抛物线交于、、三点,,轴,,.
①求的面积(用含的代数式表示);
②若的面积为1,当时,的最大值为-3,求的值.
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【题目】已知抛物线y=-x2+4x+5.
(1)用配方法将y=-x2+4x+5化成y=a(x﹣h)2+k的形式;
(2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(3)若抛物线上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),如果x1>x2>2,试比较y1与y2的大小.
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【题目】在△ABC中,点D是AB边的中点,点E为AC中点,点F在边BC上,AF交DE于点G,点H是FC的中点,连接GH.
(1)如图1,求证:四边形GHCE是平行四边形;
(2)如图2,当AB=AC,点F是BC中点时,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中所有长度等于BF的线段.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知点,,直线与轴和轴分别交于点,,若抛物线与直线有两个不同的交点,其中一个交点在线段上(包含,两个端点),另一个交点在线段上(包含,两个端点),则的取值范围是
A. B. 或C. D. 或
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【题目】下列一组方程:①,②,③,…小明通过观察,发现了其中蕴含的规律,并顺利地求出了前三个方程的解第①个方程的解为;第②个方程的解为;第③个方程的解为.若n为正整数,且关于x的方程的一个解是,则n的值等于____________.
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