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【题目】如图,点上,点外一点.于点.连接于点,作于点,交于点,连接

1)求证:的切线;

2)若,求图中阴影部分的面积.

【答案】1)见解析;(218

【解析】

1)连接OB,由垂径定理得OP垂直平分AB,进而证明△APO≌△BPO,得∠PAO=∠PBO,结合PA切⊙O于点A 即可得到结论;

(2)先证△APB是等边三角形,设OBxOP2x由勾股定理得OB6,结合三角形的面积公式和扇形的面积公式,即可求解.

1)连接OB

OPABOP经过圆心O

ACBC

OP垂直平分AB

APBP

OAOBOPOP

∴△APO≌△BPOSSS),

∴∠PAO=∠PBO

PA切⊙O于点A

APOA

∴∠PAO90°,

∴∠PBO=∠PAO90°,

OBBP

又∵点B在⊙O上,

PB是⊙O的切线;

2)∵PA切⊙O于点A PB切⊙O于点B

PAPB

∵∠APB60°,

∴△APB是等边三角形,

PBAB6

RtOPB中,

∵∠OPB=∠OPAAPB30°,

OP2OB,∠POB60°,

OBxOP2x

由勾股定理得: x2+62=(2x2

x>0

x6 , OB6,

SOPB×BP×OB×6×618SDOB

S阴影SOPBSDOB186π.

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