【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D(A在D的右侧),与y轴的交点为C,且A(4,0),C(0,﹣3),对称轴是直线x=1.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若M是第四象限抛物线上一动点,且横坐标为m,设四边形OCMA的面积为s.请写出s与m之间的函数关系式,并求出当m为何值时,四边形OCMA的面积最大;
(3)设点B是x轴上的点,P是抛物线上的点,是否存在点P,使得以A,B、C,P四点为顶点的四边形为平行四边形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2﹣x﹣3;(2)当m=2时,s最大是9;(3)存在点P(2,﹣3)或P(1+,3)或P(1﹣,3)使得以A,B、C,P四点为顶点的四边形为平行四边形.
【解析】
(1)利用抛物线的对称性可得到点D的总表,然后将A、C、D的坐标代入抛物线的解析式可求得a、b、c的值,从而可得到二次函数的解析式;
(2)设M(m,m2﹣m﹣3),|yM|=﹣m2+m+3,由S=S△OCM+S△OAM可得到S与m的函数关系式,然后利用配方法可求得S的最大值;
(3)当AB为平行四边形的边时,则AB∥PC,则点P的纵坐标为﹣3,将y=﹣3代入抛物线的解析式可求得点P的横坐标;当AB为对角线时,AB与CP互相平分,则点P的纵坐标为3,把y=3代入抛物线的解析式可求得点P的横坐标.
解:(1)∵A(4,0),对称轴是直线x=l,
∴D(﹣2,0).
又∵C(0,﹣3)
∴,
解得.a=,b=﹣,c=﹣3,
∴二次函数解析式为:y=x2﹣x﹣3.
(2)如图1所示:
设M(m,m2﹣m﹣3),|yM|=﹣m2+m+3,
∵S=S△OCM+S△OAM
∴S=×OC×m+×OA×|yM|=×3×m+×4×(﹣m2+m+3)
S =﹣m2+3m+6=﹣(m﹣2)2+9,
当m=2时,s最大是9.
(3)当AB为平行四边形的边时,则AB∥PC,
∴PC∥x轴.
∴点P的纵坐标为﹣3.
将y=﹣3代入得x2﹣x﹣3=﹣3,解得:x=0或x=2.
∴点P的坐标为(2,﹣3).
当AB为对角线时.
∵ACBP为平行四边形,
∴AB与CP互相平分,
∴点P的纵坐标为3.
把y=3代入得: x2-x﹣3=3,整理得:x2﹣2x﹣16=0,
解得:x=1+或x=1﹣.
综上所述,存在点P(2,﹣3)或P(1+,3)或P(1-,3)使得以A,B、C,P四点为顶点的四边形为平行四边形.
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【题目】小明和小亮玩一个游戏:三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2,3,4(背面完全相同),现将标有数字的一面朝下.小明从中任意抽取一张,记下数字后放回洗匀,然后小亮从中任意抽取一张,计算小明和小亮抽得的两个数字之和.若和为奇数,则小明胜;若和为偶数,则小亮胜.
(1)请你用画树状图或列表的方法,求出这两数和为6的概率.
(2)你认为这个游戏规则对双方公平吗?说说你的理由.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,弦AF交BC于点E,延长BC到点D,连接OA,AD,使得∠FAC=∠AOD,∠D=∠BAF.
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为5,CE=2,求EF的长.
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【题目】某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛,在选拔赛中,每人射击10次,然后从他们的成绩平均数(环)及方差两个因素进行分析,甲、乙、丙的成绩分析如表所示,丁的成绩如图所示.
甲 | 乙 | 丙 | |
平均数 | 7.9 | 7.9 | 8.0 |
方差 | 3.29 | 0.49 | 1.8 |
根据以上图表信息,参赛选手应选( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
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【题目】如图,在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=4米,坡角∠DCE=30°,小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A、C、E在同一直线上.
(1)求斜坡CD的高度DE;
(2)求大楼AB的高度(结果保留根号)
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【题目】如图,李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验:在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物,在右边活动托盘B(可左右移动)中放置一定质量的砝码,使得仪器左右平衡.改变活动托盘B与点O的距离x(cm),观察活动托盘B中砝码的质量y(g)的变化情况.实验数据记录如下表:
(1)猜测y与x之间的函数关系,求出函数关系式并加以验证;
(2)当砝码的质量为24 g时,活动托盘B与点O的距离是多少?
(3)将活动托盘B往左移动时,应往活动托盘B中添加还是减少砝码?
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【题目】下列四个函数中,图象经过原点且对称轴在y轴左侧的二次函数是( )
A. y=x2+2x B. y=x2﹣2x C. y=2(x+1)2 D. y=2(x﹣1)2
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【题目】如图,F在BD上,BC、AD相交于点E,且AB∥CD∥EF,
(1)图中有哪几对位似三角形,选其中一对加以证明;
(2)若AB=2,CD=3,求EF的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点P(1,4)、Q(m,n)在函数y=(k>0)的图象上,当m>1时,过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为点A、B;过点Q分别作x轴、y轴的垂线,垂足为点C、D,QD交PA于点E,随着m的增大,四边形ACQE的面积( )
A. 增大 B. 减小
C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
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