Question

2．已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+2（m-3）x+m²+1=0的两个根．
（1）当m取何值时，原方程有两个不相等的实数根？
（2）若以x₁，x₂为对角线的菱形边长是$\sqrt{3}$，试求m的值．

Answer 1

分析 （1）若方程有两个不相等的实数根，则有△=b²-4ac＞0，得到关于m的不等式，求解即可；
（2）由根与系数的关系得出x₁+x₂=-2（m-3），x₁•x₂=m²+1．根据菱形的对角线互相垂直平分的性质以及勾股定理得出（$\frac{1}{2}$x₁）²+（$\frac{1}{2}$x₂）²=3，那么（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=12，由此得出关于m的方程，解方程即可．

解答 解：（1）由题意得△=[2（m-3）]²-4（m²+1）=32-24m，
要使方程有两个不相等的实数根，需要△＞0，
即32-24m＞0，解得m＜$\frac{4}{3}$，
即m＜$\frac{4}{3}$时，方程有两个不相等的实数根．

（2）∵x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+2（m-3）x+m²+1=0的两个根，
∴x₁+x₂=-2（m-3），x₁•x₂=m²+1．
∵x₁，x₂为菱形的对角线，
∴x₁，x₂互相垂直并且平分，
∴（$\frac{1}{2}$x₁）²+（$\frac{1}{2}$x₂）²=3，
∴x₁²+x₂²=12，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=12，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=12，
∴[-2（m-3）]²-2（m²+1）=12，
∴m²-12m+11=0，
解得，m₁=1，m₂=11．
∵m＜$\frac{4}{3}$，
∴m₂=11不合题意，舍去，
∴m的值为1．

点评 此题考查了根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
也考查了菱形的性质，勾股定理以及根与系数的关系．