Question

【题目】如图1，抛物线y=ax2-3ax-2交x轴于A、B（A左B右）两点，交y轴于点C，过C作CD∥x轴，交抛物线于点D，E(-2，3)在抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P为第一象限抛物线上一点，过点P作PF⊥CD，垂足为F，连接PE交y轴于G，求证：FG∥DE；

（3）如图2，在（2）的条件下，过点F作FM⊥PE于M．若∠OFM=45°，求P点坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x-2；（2）见解析；（3）点P坐标为(6，7)

【解析】

（1）把点E坐标代入抛物线解析式即求得a的值；

（2）由抛物线解析式求点A、B、C、D的坐标，直接求得直线DE解析式为y=-x+1．设点P横坐标为t，即得到点F（t，-2）．把t当常数用待定系数法求直线PE解析式，进而求得用t表示的点G纵坐标，再用待定系数法求直线FG解析式，解得FG解析式的一次项系数为-1，与直线DE相等，所以FG∥DE；

（3）延长FO、PE相交于点N，由FM⊥PE于M且∠OFM=45°可证得△MNF为等腰直角三角形，故有FM=MN．过点M作MG⊥PF于点G，过点N作NH⊥PM于点H，即构造出△FGM≌△MHN，进而有FG=MH，MG=NH．设点M横坐标为m，由（2）求得的直线PE解析式可得M的纵坐标，进而得到用t和m表示的MG、FG．求直线OF解析式，联立直线OF与直线PE求得用t表示的交点N坐标，进而得到用t和m表示的MH、NH．代入FG=MH，MG=NH即得到关于t、m的二元方程组，解方程组并考虑t的范围即求得点P坐标．

解：（1）∵E（-2，3）在抛物线y=ax2-3ax-2上

∴4a+6a-2=3

解得：a=

∴抛物线解析式为y=x2-x-2

（2）证明：∵y=x2-x-2=0时，解得：x1=-1，x2=4

∴A（-1，0），B（4，0）

∵x=0时，y=x2-x-2=-2

∴C（0，-2）

∵点D在抛物线上，且CD∥x轴

∴D（3，-2）

设直线DE解析式为y=kx+b

∴解得：

∴直线DE：y=-x+1

∵点P为第一象限抛物线上一点

∴设点P坐标为（t，t2-t-2）（t＞4）

设直线PE解析式为y=cx+d

∴解得：

∴直线PE：y=x+t-2，直线PE与y轴交点G（0，t-2）

∵PF⊥CD于点F

∴F（t，-2）

设直线FG解析式为y=ex+t-2

把点F代入得：te+t-2=-2

解得：e=-1

∴FG∥DE

（3）延长FO、PE相交于点N，过点M作MG⊥PF于点G，过点N作NH⊥PM于点H

∴∠FGM=∠MHN=90°

∵FM⊥PE于M

∴∠FMN=90°

∴∠FMG+∠NMH=∠MNH+∠NMH=90°

∴∠FMG=∠MNH

∵∠OFM=45°

∴∠MNF=180°-∠FMN-∠OFM=45°

∴FM=MN

在△FGM与△MHN中

∴△FGM≌△MHN（AAS）

∴FG=MH，MG=NH

∵F（t，-2）

∴直线OF：y=-x

∵点M在直线PE：y=x+t-2上

∴设M（m，m+t-2）

∴MG=t-m，FG=m+t-2-（-2）=m+t

∵解得：

∴N（，）

∴MH=m-，NH=m+t-2-

∴

解得：（舍去）

∴yP=×36-×6-2=7

∴点P坐标为（6，7）.