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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点Q在AB上且AQ=2，过点Q作QR⊥AB垂足为Q，QR交折线AC-CB于R，当点Q以每秒1个单位的速度向终点B移动时，点P同时从点A出发，以每秒3个单位的速度沿AB-BC-CA移动．设移精英家教网动的时间为t（秒），
    （1）当t=1秒时，RQ=
     
    ，△ARQ的面积是
     
    ．
    （2）设△ARQ的面积是S，请写出S与t的函数关系式．
    （3）t为何值时PQ∥AC？
    （4）当t为何值时，直线QR经过点P？
    （5）当点P在AB上运动时，以PQ为边在AB上方作正方形．若正方形PQMN在Rt△ABC内部时，请计算出此时t的取值范围．
    分析：（1）根据题意得△AQR∽△ACB，由相似三角形的性质求得QR，再根据三角形的面积公式求得面积；
    （2）分两种情况进行讨论：①当R在AC边上，由△ARQ∽△ABC得，S=
    3
    8
    t2+
    3
    2
    t+
    3
    2
    ；②当R在BC边上，S=-
    2
    3
    t2+4t+
    32
    3
    ．
    （3）当PQ∥AC时，由△BPQ∽△BCA得出t；
    （4）分三种情况讨论即可：①当Q．P均在AB上时；②当P在BC上时；③当P在AC上不存在QR经过点P
    （5）有两种情况：当点P在点Q的左侧时，若点N落在AC上，则PQ=2+t-3t=2-2t，由△APN∽△ACB得
    PN
    BC
    =
    AP
    AC
    ，从而得出t；
    当点P在点Q的右侧时，若点N落在BC上，则由△BPN∽△BCA得
    BP
    BC
    =
    PN
    AC
    ，综上两种情况，可得出t的取值范围．
    解答：精英家教网解：（1）
    9
    4
    ，
    27
    8
    ；（2分）

    （2）当R在AC边上，
    由△ARQ∽△ABC得，
    RQ
    6
    =
    2+t
    8
    ，RQ=
    3
    4
    （2+t），
    S=
    1
    2
    （2+t）×
    3
    4
    （2+t）=
    3
    8
    （2+t）2=
    3
    8
    t2+
    3
    2
    t+
    3
    2
    ，
    当R在BC边上，RQ=
    4
    3
    （8-t），S=-
    2
    3
    t2+4t+
    32
    3
    ；（5分）

    （3）当PQ∥AC时，BQ=10-（2+t）=8-tBP=3t-10，
    由△BPQ∽△BCA得：
    8-t
    10
    =
    3t-10
    6
    ，
    解得t=
    74
    18
    ；（7分）

    （4）①当Q．P均在AB上时AP=3t，AQ=2+t，
    AP=AQ即3t=2+t，
    t=1，
    ②当P在BC上时，
    由△BPQ∽△BAC得
    BP
    AB
    =
    BQ
    BC
    ，
    即：
    3t-10
    10
    =
    8-t
    6
    ，
    t=5s，
    ③当P在AC上不存在QR经过点P，
    综上当t=1s或5s时直线QR经过点P；（10分）

    （5）当点P在点Q的左侧时，若点N落在AC上，
    ∵AP=3t，Q=2+t，
    ∴PQ=2+t-3t=2-2t，
    ∵四边形PQMN是正方形，
    ∴PN=2-2t，
    由△APN∽△ACB得
    PN
    BC
    =
    AP
    AC
    ，
    即
    2-2t
    6
    =
    3t
    8
    ，
    解得t=
    8
    17
    ，
    当点P在点Q的右侧时，若点N落在BC上，BP=10-3t，
    PN=PQ=2t-2由△BPN∽△BCA得
    BP
    BC
    =
    PN
    AC
    ，
    即
    10-3t
    6
    =
    2t-2
    8
    ，
    解得t=
    23
    9
    ，
    ∵t=1时点P与点Q重合．
    ∴
    8
    17
    ≤t≤
    23
    9
    且t≠1时正方形PQMN在Rt△ABC内部．（12分）
    点评：本题是一道综合性较强的题目，考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理以及正方形的性质，是中考压轴题，难度较大．
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    a
    sinA
    C、acosA
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    a
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