Question

5．如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O．设AB=a，CG=b（a＞b）．下列4个结论：
①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③$\frac{DG}{GC}=\frac{GO}{CE}$；④$\frac{{S}_{△DGO}}{{S}_{△EOF}}=\frac{（a-b）^{2}}{{b}^{2}}$；其中结论正确的是①②④（填正确的序号）．

Answer 1

分析 由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，根据正方形的性质，即可得BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，则可根据SAS证得①△BCG≌△DCE；然后延长BG交DE于点H，根据全等三角形的对应角相等，求得∠CDE+∠DGH=90°，则可得②BH⊥DE；由△DGO与△DCE相似即可判定③错误，证明△EFO∽△DGO，即可求得④正确；即可得出结论．

解答 解：①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，CD∥EF，
∴∠BCG=∠DCE．
在△BCG和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}&{\;}\\{∠BCG=∠DCE}&{\;}\\{CG=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
故①正确；
②延长BG交DE于点H，如图所示：
∵△BCG≌△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∵∠CBG+∠BGC=90°，
∴∠CDE+∠DGH=90°，
∴∠DHG=90°，
∴BH⊥DE；
∴BG⊥DE．
故②正确；
③∵四边形GCEF是正方形，
∴GF∥CE，
∴$\frac{DG}{DC}=\frac{GO}{CE}$，
∴$\frac{DG}{GC}=\frac{GO}{CE}$错误，③错误；
④∵DC∥EF，
∴△DGO∽△EOF，
∴$\frac{{S}_{△DGO}}{{S}_{△EOF}}$=（$\frac{a-b}{b}$）²=$\frac{（a-b）^{2}}{{b}^{2}}$，
∴$\frac{{S}_{△EOF}}{{S}_{△DGO}}$=（$\frac{EF}{DG}$）²=（$\frac{b}{a-b}$）²=$\frac{{b}^{2}}{（a-b）^{2}}$，④正确；
正确的有①②④；
故答案为：①②④．

点评 本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质，综合性较强，掌握三角形全等、相似的判定和性质是解题的关键．