Question

2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=AB，点E为CB边上一点（与点C不重合），点F是AC上一点．若AB=3，BE=1，∠AEF=60°，则AF的长度为$\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 由已知条件和菱形的性质以及相似三角形的判定方法可证明△ABE∽△ECF，由相似三角形的性质可求出CF的长，进而可求出AF的长．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AC=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB+∠FEC=∠AEB+∠BAE=120°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△ABE∽△ECF，
∴AB：CE=BE：CF，
∵AB=3，BE=1，
∴3：2=1：CF，
∴CF=$\frac{2}{3}$，
∴AF=3-$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{3}$．
故答案为$\frac{7}{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明△ABC是等边三角形，进而得到∠ABC=∠ACB=60°．