Question

在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．
（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；
（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）首先作∠GAH=∠EAB交GE于点H，易证得△ABG≌△AEH，又由∠EAB=60°，可证得△AGH是等边三角形，继而证得结论；
（2）首先作∠GAH=∠EAB交GE于点H，易证得△ABG≌△AEH，继而可得△AGH是等腰直角三角形，则可求得答案．

解答：（1）证明：如图①，作∠GAH=∠EAB交GE于点H．
∴∠GAB=∠HAE．
∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，
∴∠ABG=∠AEH．
在△ABG和△AEH中，

∠GAB=∠HAE AB=AE ∠ABG=∠AEH

，
∴△ABG≌△AEH（ASA）．
∴BG=EH，AG=AH．
∵∠GAH=∠EAB=60°，
∴△AGH是等边三角形．
∴AG=HG．
∴EG=AG+BG；

（2）EG=

2

AG-BG．
如图②，作∠GAH=∠EAB交GE于点H．
∴∠GAB=∠HAE．
∵∠EGB=∠EAB=90°，
∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°．
∴∠ABG=∠AEH．
∵又AB=AE，
∴△ABG≌△AEH．
∴BG=EH，AG=AH．
∵∠GAH=∠EAB=90°，
∴△AGH是等腰直角三角形．
∴

2

AG=HG．
∴EG=

2

AG-BG．

点评：此题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．