已知:如图,⊙O1和⊙O2外切于A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,切点为B、C.连接BA并延长交⊙O1于D,过D点作CB的平行线交⊙O2于E、F.求证:(1)CD是⊙O1的直径;(2)试判断线段BC、BE、BF的大小关系,并证明你的结论.
(1)如图,过点A作⊙O1和⊙O2的内公切线交BC于点C,连接AC. ∵ GB、GA分别切⊙O2于B、A,∴ GB=GA,同理GC=GA,∴GA=GB=GC,∴AB⊥AC,即∠CAD为直角,∴CD是⊙O1的直径.(2)结论是BC=BE=BF.连接AE. 在△ ABE和△EBD中,∵∠ CBA=∠BEA,又∵BC∥FD,∴∠ CBA=∠BDE,∴∠BEA=∠BDE,又∵∠ ABE=∠EBD,△ABE∽△EBD,∴ ![]() ![]() 由切割线定理,得 BC2=BA·BD,BE=BC.∵∠ CBE=∠BFE,又BC∥FD,∴∠ CBE=∠BEF,∴∠BFE=∠FEB,∴BE=BF,∴BE=BF=BC. |
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