复习“全等三角形的知识时.老师布置了一道作业题:“如下图①.已知在△ABC中.AB=AC.P是△ABC内部任意一点.将AP绕A顺时针旋转至AQ.使得∠QAP=∠BAC.连接BQ.CP.则BQ=CP． (1)小亮是个爱动脑筋的同学.他通过对图①的分析.证明了△ABQ≌△ACP.从而证得BQ=CP．请你帮小亮完成证明．(2)之后.小亮又将点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如下图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使得∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”
（1）小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP．请你帮小亮完成证明．
（2）之后，小亮又将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，“BQ=CP”仍然成立吗？若成立，请你就图②给出证明．若不成立，请说明理由．

分析：此题的两个小题思路是一致的；已知∠QAP=∠BAC，那么这两个等角同时减去同一个角（2题是加上同一个角），来证得∠QAB=∠PAC；而根据旋转的性质知：AP=AQ，且已知了AB=AC，即可由SAS证得△ABQ≌△ACP，进而得出BQ=CP的结论．

解答：

证明：（1）∵∠QAP=∠BAC，
∴∠QAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP，
即∠QAB=∠CAP；
在△BQA和△CPA中，
AQ=AP，∠QAB=∠CAP，AB=AC，
∴△BQA≌△CPA（SAS）；
∴BQ=CP．

（2）BQ=CP仍然成立，理由如下：
∵∠QAP=∠BAC，
∴∠QAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB，
即∠QAB=∠PAC；
在△QAB和△PAC中，
AQ=AP，∠QAB=∠PAC，AB=AC，
∴△QAB≌△PAC（SAS），
∴BQ=CP．

点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质；选择并利用三角形全等是正确解答本题的关键．

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科目：初中数学 来源： 题型：

（2012•南湖区二模）在特殊四边形的复习课上，王老师出了这样一道题：
如图1，在?ABCD中，E、F、G、H分别为AB，BC，CD，DA边上的动点，连接EG，HF相交于点O，且∠HOE=∠ADC，若AB=a，AD=b，试探究：EG与FH的数量关系．
经过小组讨论后，小聪建议分以下三步进行，请你解答：
（1）特殊情况，探索结论
当?ABCD是边长为a的正方形时（如图2），请写出EG与FH的数量关系（不必证明）；
（2）尝试变题，再探思路
当?ABCD是边长为a的菱形时（如图3），EG与FH又有怎样的数量关系呢？
小聪想：要求EG与FH的数量关系，就要构成全等三角形或相似三角形，于是，分别过点G、H作GM⊥AB于点M，HN⊥BC于点N，在△HNF和△GME中，有∠GME=∠HNF=Rt∠，由菱形面积与性质可得GM=HN，能否从已知条件得到∠MGE=∠NHF呢？请你根据小聪的思路完成解答过程；
（3）特例启发，解答题目
猜想：原题中EG与FH的数量关系是