Question

6．已知二次函数y=x²-（2m-1）x+m²-m（m是常数，且m≠0）．
（1）证明：不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点；
（2）若A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）是该二次函数图象上的两个不同点，求二次函数解析式和n的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，求出△的值即可解答本题；
（2）根据A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）是该二次函数图象上的两个不同点，可以求出函数的对称轴，从而可以求得m的值，得到二次函数的解析式，然后将A的坐标代入即可求得n的值．

解答 （1）证明：∵y=x²-（2m-1）x+m²-m（m是常数，且m≠0），
∴△=[-（2m-1）]²-4×1×（m²-m）=1＞0，
∴不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点；
解：（2）∵A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）是该二次函数图象上的两个不同点，
∴对称轴为直线x=$\frac{n-3+（-n+1）}{2}$=-1，
∴$-\frac{-（2m-1）}{2×1}$=-1，
解得，m=-0.5，
∴二次函数的解析式为：y=x²-（2m-1）x+m²-m=x²-[2×（-0.5）-1]x+（-0.5）²-（-0.5）=x²+2x$+\frac{3}{4}$，
即二次函数的解析式是y=x²+2x$+\frac{3}{4}$，
∵点A（n-3，n²+2）在该二次函数图象上，
∴n²+2=（n-3）²+2（n-3）$+\frac{3}{4}$，
解得，n=$\frac{7}{16}$．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式，解答此类问题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．