Question

6．在△ABC与△DEF中，点E与AC的中点重合，∠ABC+∠DEF=180°，绕点E旋转△DEF，使ED、EF分别与AB、BC相交于点M，N．
（1）如图1，如果AB=BC，且∠ABC=90°，那么线段EM与EN有何数量关系？请直接写出结论，并说明理由．
（2）如图2，如果AB=BC，那么（1）中的结论是否还成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由四边形的内角和为360°可以推出∠HEM=∠GEN，由等腰三角形的三线合一及角平分线的性质可以推出EH=EG，从而可以证到△HEM≌△GEN，进而有EM=EG．
（2）借鉴（1）的证明方法同样可以证到EM=EG．

解答 解：（1）EM=EN．
证明：过点E作EG⊥BC，G为垂足，作EH⊥AB，H为垂足，连接BE，如图1所示．
则∠EHB=∠EGB=90°．
∴在四边形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．
∵∠HBG+∠DEF=180°，
∴∠HEG=∠DEF．
∴∠HEM=∠GEN．
∵BA=BC，点E为AC中点，
∴BE平分∠ABC．
又∵EH⊥AB，EG⊥BC，
∴EH=EG．
在△HEM和△GEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HEM=∠GEN}\\{EH=EG}\\{∠EHM=∠EGN}\end{array}\right.$，
∴△HEM≌△GEN．
∴EM=EN．

（2）EM=EN仍然成立．
证明：过点E作EG⊥BC，G为垂足，作EH⊥AB，H为垂足，连接BE，如图2所示．
则∠EHB=∠EGB=90°．
∴在四边形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．
∵∠HBG+∠DEF=180°，
∴∠HEG=∠DEF．
∴∠HEM=∠GEN．
∵BA=BC，点E为AC中点，
∴BE平分∠ABC．
又∵EH⊥AB，EG⊥BC，
∴EH=EG．
在△HEM和△GEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HEM=∠GEN}\\{EH=EG}\\{∠EHM=∠EGN}\end{array}\right.$，
∴△HEM≌△GEN．
∴EM=EN．

点评 本题通过图形的变换，考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和等知识，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．