Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）连接OC交DE于点F，若OF=CF，证明：四边形OECD是平行四边形；
（3）若，求tan∠ACO的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）证出DE经过半径的外端且垂直于半径即可；
（2）利用中位线定理证出OE=CD，OE∥CD，即可根据平行四边形的性质证明四边形OECD是平行四边形；
（3）作OH⊥AC，构造相应的直角三角形，利用三角函数的定义解答即可．
解答：（1）证明：连接BD，OD，
∵AB是直径，
∴BD⊥AC．
∵E是BC的中点，
∴EB=EC=DE，
∴∠EDB=∠EBD．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，
∴∠ODE=∠ABC=90°．
∴DE是⊙O的切线．

（2）证明：连接OE，
∵E是BC的中点，OF=CF，
∴EF是△OBC的中位线．
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴．
∵AO=BO，E是BC的中点，
∴OE∥AC且．
∴OE=CD，
∴四边形OECD是平行四边形．

（3）解：作OH⊥AC，垂足为H，不妨设OE=1，
∵，△OEF∽△CDF，
∴CD=n，
∵OE=1，
∴AC=2．
∴AD=2-n，由△CDB∽△BDA，得BD²=AD•CD．
∴BD²=n•（2-n），．
∴，而．
∴．
点评：本题考查了切线的判定、平行四边形的判定和锐角三角函数的定义，相似三角形的性质在解题中起到了至关重要的作用．