Question

（2000•湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于C，AD⊥PD，CM⊥AB，垂足分别为D，M．
（1）求证：CB平分∠PCM；
（2）若∠CBA=60°，求证：△ADM为等边三角形；
（3）若PO=5，PC=a，⊙O的半径为r，且a，r是关于x的方程x²-（2m+1）x+4m=0的两根，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）延长CM与圆相交于E，连接OC，OE，根据垂径定理，=，根据弦切角定理即可解答．
（2）根据已知及等边三角形的判定方法证明即可．
（3）先根据勾股定理找出PO=5，PC=a，⊙O的半径r之间的关系，再利用一元二次方程根与系数的关系可直接解答．
解答：（1）证明：延长CM与圆相交于E，连接OC，OE；
∵CM⊥AB，
∴=．
∴∠COP=∠EOP．
∴∠BCP=∠COP，∠MCB=∠EOP．
∴∠BCP=∠MCB，CB平分∠PCM．

（2）证明：∵∠CBA=60°，
∴∠1=∠ACD=30°．
∵∠COB是△AOC的外角，
∴∠COB=60°．
又∵AD⊥PC，OC⊥PC，
∴AD∥OC，∠DAM=∠COB=60°．
∵△BOC是等边三角形，CM⊥OB，
∴∠BCM=30°．
∵CB平分∠PCM，
∴∠PCB=30°．
∴∠1=∠PCB=30°．
又∵∠DAM=60°，
∴∠DAC=∠1=30°．
∴AC是∠DAM的平分线．
∵∠ADC=∠CMA=90°，
∴CD=CM，△ADC≌△AMC，AD=AM．
∴∠ADM=∠AMD．
又∵∠DAM=60°，
∴∠DAM=∠ADM=∠AMD=60°．
即△ADM为等边三角形；

（3）解：∵PO=5，PC=a，⊙O的半径为r，
∴在Rt△OCP中，OC²+PC²=OP²
即r²+a²=5²①
∵a，r是关于x的方程x²-（2m+1）x+4m=0的两根
∴a+r=2m+1，ar=4m     ②
∴（a+r）²=a²+r²+2ar    ③
把①②代入③得（2m+1）²=25+8m，解得m=3或m=-2（舍去）
故m=3．
点评：此题考查的是圆的有关知识与一元二次方程根与系数的关系相结合，难度比较大，需同学们细心解答．