Question

设A₁A₂A₃…A_n是一个有n个顶点的凸多边形，对每一个顶点A_i（i=1，2，3，…，n），将构成该角的两边分别向外延长至A_i1，A_i2，连接A_i1A_i2得到两个角∠A_i1，∠A_i2，那么所有这些新得到的角的度数的和是

360°

．

Answer 1

分析：根据三角形内角和等于180°，凸多边形内角和等于（n-2）•180，将（∠A₁₁+∠A₁₂）+（∠A₂₁+∠A₂₂）+…+（∠A_n1+∠A_n2）变形为（∠A₁₁+∠A₁₂+∠A₁）+（∠A₂₁+∠A₂₂+∠A2）+…+（∠A_n1+∠A_n2+∠A_n=）-（∠A₁+∠A₂+∠A₃+…+∠A_n）即可求出所有这些新得到的角的度数的和．

解答：解：n个顶点的凸多边形内角和等于：∠A₁+∠A₂+∠A₃+…+∠A_n=（n-2）•180，
∠A₁₁+∠A₁₂+∠A₁=180 （三角形的内角和）．
所以（∠A₁₁+∠A₁₂）+（∠A₂₁+∠A₂₂）+…+（∠A_n1+∠A_n2）=180n-180（n-2）=180×2=360．
故答案为：360°．

点评：本题考查了凸多边形内角和的公式和三角形内角和等于180°，解题关键是将各个三角形的内角总和减去凸n多边形内角和．