Question

如图，△ABO中，O是坐标原点，A(-

3

，0)，B(-

3

，1)．
（1）①以原点O为位似中心，将△ABO放大，使变换后得到的△CDO与△ABO的位似比为2：1，且D在第一象限内，则C点坐标为（

 

，

 

）；D点坐标为（

 

，

 

）；
②将△DOC沿OD折叠，点C落在第一象限的E处，画出图形，并求出点E的坐标；
（2）若抛物线y=ax²+bx（a≠0）过（1）中的E、C两点，求抛物线的解析式；
（3）在（2）中的抛物线EC段（不包括C、E点）上是否存在一点M，使得四边形MEOC面积最大？若存在，求出这个最大值，并求出此时M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）①首先根据点D的位置确定△COD的位置，然后根据位似比作图，即可得到点C、D的坐标；
②可过E作y轴的垂线，设垂足为F，由于△ODE是由△ODC翻折而得，故OE=OC=2

3

，∠EOD=∠COD=30°，根据这些条件，即可在Rt△OEF中，通过解直角三角形求出点E的坐标．
（2）在（1）题中，已经求得了E、C的坐标，利用待定系数法求解即可．
（3）四边形MEOC中，△OEC的面积是定值，若四边形的面积最大，则△EMC的面积最大；过M作MN∥y轴，交直线CE于N，设出点M的横坐标，根据抛物线和直线CE的解析式即可得到MN的长，以MN为底，C、E横坐标差的绝对值为高，即可得到△EMC的面积表达式，进而可得到关于四边形MEOC的面积和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可得到四边形的面积最大值，及对应的M点坐标．

解答：解：（1）①由题意知：OC=2OA=2

3

，
CD=2AB=2；
故C（2

3

，0），D（2

3

，2）；
②如图，过E作EF⊥y轴于F；
Rt△OCD中，OC=2

3

，CD=2，则有：
∠DOC=30°；
根据折叠的性质知：
OE=OC=2

3

，∠EOD=∠DOC=30°；
在Rt△OEF中，OE=2

3

，∠FOE=30°，
则：FE=

3

，OF=3，
故E（

3

，3）．

（2）由于抛物线经过E（

3

，3），C（2

3

，0），依题意有：

3a+ 3 b=3 12a+2 3 b=0

，
解得

a=-1 b=2 3

，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2

3

x；

（3）过M作MN∥y轴，交CE于N；
∵E（

3

，3），C（2

3

，0），
∴直线EC：y=-

3

x+6；
设M（x，-x²+2

3

x），则N（x，-

3

x+6），
∴MN=-x²+2

3

x-（-

3

x+6）=-x²+3

3

x-6；
∴四边形EMCO的面积S=S_△EMC+S_△EOC
=

1

2

×（-x²+3

3

x-6）×

3

+

1

2

×2

3

×3
=-

3

2

x²+

9

2

x=-

3

2

（x-

3 3

2

）²+

27 3

8

；
∴当x=

3 3

2

，即M（

3 3

2

，

9

4

）时，四边形OEMC的面积最大，且最大值为

27 3

8

．

点评：此题是二次函数的综合题，涉及到图形的位似变化、二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标及图形面积的求法、二次函数最值的应用等重要知识点，综合性强，难度较大．