Question

8．已知抛物线y=x²-2x-3，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，EF∥AC交y轴于M，AN∥y轴交EF于N点，求$\frac{EM}{FN}$的值．

Answer 1

分析 根据解析式求得点A、B、C坐标，从而得出直线AC解析式，设M（0，m）由EF∥AC交y轴于M知直线EF的解析式为y=x+m，继而由AN∥y轴得点N（3，3+m），设E（x₁，y₁）、F（x₂、y₂），联立抛物线和直线EF解析式可得x₁+x₂=3即-x₁=x₂-3，作EG⊥y轴、FH⊥AN知△EGM∽△FHN，得$\frac{EM}{FN}$=$\frac{EG}{FH}$=$\frac{-{x}_{1}}{{x}_{2}-3}$=1．

解答 解：如图，

令y=0，则x²-2x-3=0，
解得：x=-1或x=3，
即点B（-1，0）、点A（3，0），
令x=0得y=-3，即点C（0，-3），
设直线BC解析式为y=kx+b，
将A（3，0）、C（0，-3）代入，得：
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线AC解析式为y=x-3，
设M（0，m），
∵EF∥AC交y轴于M，
∴直线EF的解析式为y=x+m，
∵AN∥y轴交EF于N点，
∴点N（3，3+m），
设E（x₁，y₁）、F（x₂、y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x-3}\\{y=x+m}\end{array}\right.$得：x²-2x-3=x+m，即x²-3x-3-m=0，
则x₁+x₂=3，即-x₁=x₂-3，
过点E作EG⊥y轴于点G，作FH⊥AN交AN延长线于点H，
则△EGM∽△FHN，
∴$\frac{EM}{FN}$=$\frac{EG}{FH}$=$\frac{-{x}_{1}}{{x}_{2}-3}$=1．

点评 本题主要考查直线和抛物线相交的问题及相似三角形的判定与性质，构建相似三角形将两条线段的长度之比转化为直线和抛物线相交的问题是解题的关键．