Question

（2012•兰州）如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB=45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是

-

2

≤x≤

2

且x≠0

．

Answer 1

分析：由题意得x有两个极值点，过点P与⊙O相切时，x取得极值，作出切线，利用切线的性质求解即可．

解答：解：将OA平移至P'D的位置，使P'D与圆相切，
连接OD，由题意得，OD=1，∠DOP'=45°，∠ODP'=90°，
故可得OP'=

2

，即x的极大值为

2

，
同理当点P在y轴左边时也有一个极值点，此时x取得极小值，x=-

2

，
综上可得x的范围为：-

2

≤x≤

2

．
又∵DP'与OA平行，
∴x≠0，
故答案为：-

2

≤x≤

2

且x≠0．

点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系，分别得出两圆与圆相切时求出OP的长是解决问题的关键，难度一般，注意两个极值点的寻找．