Question

如图，抛物线y=ax²+bx过点A（4，0）正方形OABC的边BC与抛物线的一个交点为D，点D的横坐标为3，点M在y轴的负半轴上，直线L过点D、M两点且与抛物线的对称轴将于点H，tan∠OMD=

1

3

．
（1）写出D点坐标（

 

），a=

 

，b=

 

，抛物线的对称轴为

 

．
（2）求M点坐标，H点坐标；
（3）如果点Q是抛物线对称轴上一个动点，那么是否存在点Q使得以点O、M、Q、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的边长及点D的横坐标可求D点坐标，把A、D两点坐标代入y=ax²+bx中，解方程组得a、b的值，抛物线过O、A两点，对称轴是线段OA的垂直平分线；
（2）由CD=3，tan∠OMD=

1

3

，在Rt△CDM中解直角三角形可求CM，用OM=CM-OC求M点的纵坐标；用“两点法”求直线MD的解析式，再求当x=2时直线MD对应的函数值，即可求H点的坐标；
（3）只要OM=HQ即可，有两种情况，即Q点在H点上面或者下面，分别求解．

解答：解：（1）∵A（4，0），四边形OABC为正方形，点D的横坐标为3，
∴D（3，4），
把A（4，0），D（3，4）代入y=ax²+bx中，
得

16a+4b=0 9a+3b=4

，
解得

a=- 4 3 b= 16 3

；
抛物线的对称轴为线段OA的垂直平分线，即直线x=2．

（2）在Rt△CDM中，由CD=3，tan∠OMD=

CD

CM

=

1

3

，
得CM=3CD=9，OM=CM-OC=9-4=5，
∴M（0，-5），
设直线DM解析式为y=kx+b，将D、M两点坐标代入，
得

3k+b=4 b=-5

解得

k=3 b=-5

，
∴y=3x-5，H（2，1）；

（3）存在．
当HQ=OM=5时，以点O、M、Q、H为顶点的四边形是平行四边形，
∵HQ是抛物线的对称轴，故H和Q两点的横坐标均为2，
若以点O、M、Q、H为顶点的四边形是平行四边形，
则HQ=OM即可，
又知H点坐标为（2，1），故对Q点进行讨论，
①当Q点在H点上面时，若HQ=OM，可得Q点坐标为（2，6），
②当Q点在H点下面时，可得Q（2，-4）．

点评：主要考查了点的坐标、直线解析式、抛物线解析式的求法，涉及解直角三角形的知识和平行四边形的性质的运用．