解:(1)∵抛物线y=-x
2+bx+c的图象经过点A(1,0),B (0,5)两点,
∴
,
解得
,
∴抛物线解析式为y=-x
2-4x+5,
令y=0,则-x
2-4x+5=0,
解得x
1=1,x
2=-5,
∴点C的坐标为(-5,0);
(2)①如图1,点D在y轴左边时,过点D作DE⊥x轴于点E,
∵点D的横坐标为m,
∴DE=-m
2-4m+5,OE=-m,CE=m-(-5)=m+5,
∴S=S
△CDE+S
梯形BDOE+S
△AOB,
=
CE•DE+
(DE+OB)•OE+
AO•BO,
=
(m+5)×(-m
2-4m+5)+
(-m
2-4m+5+5)×(-m)+
×1×5,
=
×5(-m
2-4m+5)-
×5m+
×5,
=-
(m
2+5m)+15,
=-
(m
2+5m+
)+
×
+15,
=-
(m+
)
2+
,
即S=-
(m+
)
2+
(-5<m<0),
所以,当m=-
时,S有最大值,最大值为
;
②如图2,点D在y轴右边时,过点D作DE⊥x轴于点E,
∵点D的横坐标为m,
∴DE=-m
2-4m+5,OE=m,AE=1-m,
S=S
△BOC+S
梯形BOED+S
△ADE,
=
OC•OB+
(DE+OB)•OE+
AE•DE,
=
×5×5+
(-m
2-4m+5+5)×m+
(1-m)×(-m
2-4m+5),
=
×25+
×5m+
(-m
2-4m+5),
=-
(m
2-m)+15,
=-
(m
2-m+
)+
+15,
=-
(m-
)
2+
,
即S=-
(m-
)
2+
(0<m<1),
所以,当m=
时,S有最大值,最大值为
,
∵
>
,
∴当m=-
时,S有最大值,最大值为
;
(3)如图,∵B (0,5),C(-5,0),
∴设直线BC的解析式为y=kx+n,则
,
解得
,
∴直线BC的解析式为y=x+5,
设点P的坐标为(x,0),PH与BC相交于点F,
则PF=x-(-5)=x+5,PH=-x
2-4x+5,
∴HF=PH-PF=-x
2-4x+5-x-5=-x
2-5x,
∵直线BC把△PCH分成面积之比为2:3的两部分,
∴HF:PF=2:3或PF:HF=2:3,
即(-x
2-5x):(x+5)=2:3或(x+5):(-x
2-5x)=2:3,
整理得,2x
2+13x+15=0或3x
2+17x+10=0,
解得x
1=-
,x
2=-5(舍去)或x
3=-
,x
4=-5(舍去),
所以,点P的坐标为(-
,0)或(-
,0).
分析:(1)把点A、B的坐标代入抛物线解析式,解关于b、c的方程组求出b、c的值即可得到抛物线解析式,令y=0,解关于x的一元二次方程即可得到点C的坐标;
(2)①分点D在y轴左边时,过点D作DE⊥x轴于点E,再用m表示出DE、CE、OE的长度,然后根据S=S
△CDE+S
梯形BDOE+S
△AOB,利用三角形的面积公式与梯形的面积公式列式整理即可;②点D在y轴右边时,过点D作DE⊥x轴于点E,再用m表示出DE、OE、AE的长度,然后根据S=S
△BOC+S
梯形BOED+S
△ADE,利用三角形的面积公式与梯形的面积公式列式整理即可,根据x的取值范围结合二次函数的最值问题分别求出S的最大值,然后即可得解;
(3)利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BC的解析式,设PH与BC相交于点F,点P的坐标为(x,0)然后表示出PF、HF的长度,再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比,分HF:PF=2:3,PF:HF=2:3两种情况分别列式进行计算即可得解.
点评:本题是对二次函数的综合考查,主要利用了待定系数法求函数解析式,抛物线与x轴的交点问题,求不规则图形的面积,等高的三角形的面积的比等于底边的比的性质,分类讨论的思想,综合性较强,难度较大,且运算量非常大,需仔细分析并认真计算.