Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为2，点E，点F分别是边BC，边CD上的动点，且BE＝CF，AE与BF相交于点P．若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

作M关于CD的对称点Q，取AB的中点H，连接PQ与CD交于点N'，连接PH，HQ，当H、P、N'、Q四点共线时，MN+NP＝PQ的值最小，根据勾股定理HQ，再证明△ABE≌△BCF，进而得△APB为直角三角形，由直角三角形的性质，求得PH，进而求得PQ．

解：作M关于CD的对称点Q，取AB的中点H，连接PQ与CD交于点N'，连接PH，HQ，则MN'＝QN'，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴∠AEB＝∠BFC，

∵AB∥CD，

∴∠ABP＝∠BFC＝∠AEB，

∵∠BAE+∠AEB＝90°，

∴∠BAE+∠ABP＝90°，

∴∠APB＝90°，

∴PH＝，

∵M点是BC的中点，

∴BM＝MC＝CQ＝，

∵PH+PQ≥HQ，

∴当H、P、Q三点共线时，PH+PQ＝HQ＝ 的值最小，

∴PQ的最小值为，

此时，若N与N'重合时，MN+PN＝MN'+PN'＝QN'+PN'＝PQ＝的值最小，

故答案为．