Question

如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB 于点E，且ME=3，AM=6，AE=3

3

．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求

BM

的长．
（3）求阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,弧长的计算,扇形面积的计算

专题：几何综合题

分析：（1）根据勾股定理的逆定理求出∠AEM=90°，推出∠B=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）求出∠MOB，求出半径OM，根据弧长公式求出即可；
（3）分别求出扇形OMN和三角形OMN的面积，即可求出答案．

解答：（1）证明：∵ME²+AE²=AM ²=36，
∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°，
又∵MN∥BC，
∴∠ABC=∠AEM=90°，
即OB⊥BC．
∴BC是⊙O的切线；                            

（2）解：连接OM，
∵sinA=

ME

AM

=

1

2

，
∴∠A=30°，
∴∠BOM=2∠A=60°，
∴OM=2

3

，
∴

BM

的长度是：

60π×2 3

180

=

2 3

3

π；


（3）解：∵AB⊥MN，AB是直径，
∴弧BM=弧BN，MN=2ME=6，
∴∠MON=2×60°=120°，
∵AE=3

3

，AO=OM=2

3

，
∴OE=

3

，
∴阴影部分的面积S=S_扇形OMN-S_△OMN=

120π×(2 3 )2

360

-

1

2

×6×

3

=4π-3

3

．

点评：本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，弧长公式，扇形的面积，切线的判定的应用，题目是一道综合性比较强的题目，有一定的难度．