【题目】如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连接AE、DE、DC。
(1)求证:△ABE≌△CBD;
(2)若∠CAE=30°,求∠BCD的度数。
【答案】(1)见解析;(2)15°.
【解析】
(1)由∠ABC为直角,得到∠CBD也为直角,得到一对角相等,再由AB=CB,BE=BD,利用SAS即可得到三角形ABE与三角形CBD全等,得证;
(2)由AB=BC,且∠ABC为直角,得到三角形ABC为等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC为45°,由∠CAB-∠CAE求出∠BAE的度数,根据全等三角形的对应角相等得到∠BAE=∠BCD,即可求出∠BCD的度数.
(1)证明:∵∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,
∴∠ABE=∠CBD=90°,
在△ABE和△CBD中,
,
∴△ABE≌△CBD(SAS);
(2)解:∵AB=CB,∠ABC=90°,
∴△ABC为等腰直角三角形,
∴∠CAB=45°,
又∵∠CAE=30°,
∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=15°
∵△ABE≌△CBD,
∴∠BCD=∠BAE=15°.
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【题目】等边△ABC中,点P由点A出发沿CA方向运动,同时点Q以相同的速度从点B出发沿BC方向运动,当点Q到达C点时,P,Q两点都停止运动,连接PQ,交AB于点M.
(1)如图①,当PQ⊥BC时,求证:AP=AM.
(2)如图②,试说明:在点P和点Q运动的过程中,PM=QM.
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【题目】如图所示,将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点C′处,折痕为EF,若∠EFC′=120°,那么∠ABE的度数为__________。
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【题目】如图1,为等腰直角三角形,,F是AC边上的一个动点(点F与A、C不重合),以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF,连接BF、AD.
(1)猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系,直接写出结论,_____________.
(2)将图1中的正方形CDEF,绕着点C按顺时针方向旋转任意角度,得到如图2的情形,BF交AC于点H,交AD于点O,请你判断(1)中得到的结论是否仍然成立,证明你的判断.
(3)将图1中的正方形CDEF,绕着点按逆时针方向旋转,得到如图3的情形,点恰好落在斜边上,若,求正方形CDEF的边长.
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【题目】如图,在△ABC中,且于点E,与CD相交于点F,于点H,交BE于点G.下列结论:①BD=CD;②AD+CF=BD;③;④AE=CF.其中正确的是____________(填序号)
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【题目】问题情境:如图①,在△ABD与△CAE中,BD=AE,∠DBA=∠EAC,AB=AC,易证:△ABD≌△CAE.(不需要证明)
特例探究:如图②,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F.求证:△ABD≌△CAE.
归纳证明:如图③,在等边△ABC中,点D、E分别在边CB、BA的延长线上,且BD=AE.△ABD与△CAE是否全等?如果全等,请证明;如果不全等,请说明理由.
拓展应用:如图④,在等腰三角形中,AB=AC,点O是AB边的垂直平分线与AC的交点,点D、E分别在OB、BA的延长线上.若BD=AE,∠BAC=50°,∠AEC=32°,求∠BAD的度数.
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【题目】下列说法一定正确的是( )
A.所有的等边三角形都是全等三角形
B.全等三角形是指形状相同的两个三角形
C.全等三角形是指面积相等的两个三角形
D.全等三角形的周长和面积分别相等
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,点D、E分别为AB、AC上的点,且DE∥BC.将△ADE绕点A逆时针旋转至点B、A、E在同一条直线上,连接BD、EC.下列结论:①△ADE的旋转角为120°;②BD=EC;③BE=AD+AC;④DE⊥AC,其中正确的有( )
A.②③B.②③④C.①②③D.①②③④
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点E为线段OB上一点(不与O,B重合),作EC⊥OB,交⊙O于点C,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线于点P,作AF⊥PC于点F,连接CB.
(1)求证:AC平分∠FAB;
(2)求证:BC2=CECP;
(3)当AB=4且=时,求劣弧的长度.
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