在Rt△ABC中.∠C=90°.AC=BC=1.点P是边AC上一动点.点Q在BC边的延长线上.且AP=BQ.连接BQ交线段AB于点O．(1)如图1.小丁过点P作PH∥CB交线段AB于H.发现△OPH≌△OQB.请证明小丁发现的结论．(2)如图2.过点O作OM.ON分别垂直于AC.BC于点M.N.若四边形OMCN的面积为29.求线段CP的长度．(3)如图3.点P关于直线AB� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点P是边AC上一动点，点Q在BC边的延长线上，且AP=BQ，连接BQ交线段AB于点O．
（1）如图1，小丁过点P作PH∥CB交线段AB于H，发现△OPH≌△OQB，请证明小丁发现的结论．
（2）如图2，过点O作OM、ON分别垂直于AC、BC于点M、N，若四边形OMCN的面积为

，求线段CP的长度．
（3）如图3，点P关于直线AB的对称点为P′，连接OP′，CP′，试说明∠COP′=90°．

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）易证∠OPH=∠Q，即可证明△OPH≌△OQB；
（2）易证ON=AN，OM=CN，即可求得CN、AN的值，易证OB=OH，根据平行线性质可得CN=PN，即可解题；
（3）过C作CG⊥AB，作PH∥BC，易证OP=OQ，OH=OB，HK=AK，即可求得OK=CG，即可证明RT△OP'K≌RT△COG，可得∠P'OK=∠OCG，即可求得∠P'OK+∠COG=90°，即可解题．

解答：（1）证明：∵PH∥BC，
∴∠OPH=∠Q，
∵在△OPH和△OQB中，

∠BOQ=∠HOP

∠OPH=∠Q

PH=BQ

，
∴△OPH≌△OQB（AAS）；
（2）解：∵ON⊥AC，∠A=45°，
∴ON=AN，
∵ON⊥AC，OM⊥BC，∠C=90°，
∴四边形OMCN为矩形，
∴OM=CN，
∵CN•NO=

，CN+NO=1，
∴CN=

，AN=

，
∵△OPH≌△OQB，∴OB=OH，
∵PH∥BC，
∴

=1，
∴CP=

；
（3）解：过C作CG⊥AB，作PH∥BC，

∵点P关于直线AB的对称点为P′，
∴OP=OP'，
∵△OPH≌△OQB，
∴OP=OQ，OH=OB，
∵PH∥BC，
∴△APH为等腰直角三角形，
∵PP'⊥AH，
∴HK=AK，
∴OK=

AB，
∵CG⊥AB，∴CG=AO=BO=

AB，
∴OK=CG，
在RT△OP'K和RT△COG中，

OK=CG

OC=OP

，
∴RT△OP'K≌RT△COG（HL），
∴∠P'OK=∠OCG，
∵∠OCG+∠COG=90°，
∴∠P'OK+∠COG=90°，即∠P'OC=90°．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△OPH≌△OQB和RT△OP'K≌RT△COG是解题的关键．

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