Question

先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

例1：1+ax+ax（1+ax）=（1+ax）（1+ax）

=（1+ax）²；

例2：1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）²=（1+ax）（1+ax）+ax（1+ax）²

=（1+ax）²+ax（1+ax）²

=（1+ax）²（1+ax）

=（1+ax）³

（1）分解因式：1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）²+…+ax（1+ax）ⁿ=　（1+ax）ⁿ⁺¹　；

（2）分解因式：x﹣1﹣x（x﹣1）+x（x﹣1）²﹣x（x﹣1）³+…﹣x（x﹣1）²⁰⁰³+x（x﹣1）²⁰⁰⁴

（答题要求：请将第（1）问的答案填写在题中的横线上）

 

Answer 1

【答案】

（1）（1+ax）ⁿ⁺¹  （2）（x﹣1）²⁰⁰⁵

【解析】

试题分析：首先把式子整理，可知是将一个多项式进行因式分解，考虑运用分组分解法．

（1）可以把1+ax分成一组，看作一个整体，反复利用提公因式法就可求解．

（2）可以把x﹣1分成一组，看作一个整体，反复利用提公因式法就可求解．

解：（1）1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）²+…+ax（1+ax）ⁿ，

=（1+ax）（1+ax）+ax（1+ax）²+…+ax（1+ax）ⁿ，

=（1+ax）²+ax（1+ax）²+…+ax（1+ax）ⁿ，

=（1+ax）²（1+ax）+…+ax（1+ax）ⁿ，

=（1+ax）³+…+ax（1+ax）ⁿ，

=（1+ax）^n（1+ax），

=（1+ax）ⁿ⁺¹；

（2）x﹣1﹣x（x﹣1）+x（x﹣1）²﹣x（x﹣1）³+…﹣x（x﹣1）²⁰⁰³+x（x﹣1）²⁰⁰⁴，

=（x﹣1）（1﹣x）+x（x﹣1）²﹣x（x﹣1）³+…﹣x（x﹣1）²⁰⁰³+x（x﹣1）²⁰⁰⁴，

=（x﹣1）²（﹣1+x）²﹣x（x﹣1）³+…﹣x（x﹣1）²⁰⁰³+x（x﹣1）²⁰⁰⁴，

=（x﹣1）²（1﹣x）+…﹣x（x﹣1）²⁰⁰³+x（x﹣1）²⁰⁰⁴，

=（x﹣1）²⁰⁰⁵．

考点：因式分解-分组分解法．

点评：本题考查了分组分解法分解因式，关键是将原式转化为（x﹣1）ⁿ的形式，解题时要有构造意识和想象力．