Question

如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△OBC的两条直角边分别落在x轴、y轴上，且OB=1,OC=3,将△OBC绕原点O顺时针旋转90°得到△OAE，将△OBC沿y轴翻折得到△ODC，AE与CD交于点F.

（1）若抛物线过点A、B、C, 求此抛物线的解析式;
（2）求△OAE与△ODC重叠的部分四边形ODFE的面积;
（3）点M是第三象限内抛物线上的一动点，点M在何处时△AMC的面积最大？最大面积是多少？求出此时点的坐标.

Answer 1

（1）过点A,B,C的抛物线的解析式；
（2）S_{四边形ODFE}= ；
（3）当时，，△AMC的面积有最大值，此时点M的坐标为()．

试题分析：（1）由题意易得点A、点B、点C的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点D及点E的坐标，继而得出直线AE与直线CD的解析式，联立求出点F坐标，根据S_{四边形ODFE}=S_△AOE﹣S_△ADF，可得出答案．
（3）连接OM，设M点的坐标为（m，n），继而表示出△AMC的面积，利用配方法确定最值，并得出点M的坐标．
试题解析：(1)∵OB=1，OC="3" ，
∴C(0，-3)，B(1，0)，
∵△OBC绕原点顺时针旋转90°得到△OAE，
∴A(-3,0)，
所以抛物线过点A(-3，0)，C(0，-3)，B(1，0)，
设抛物线的解析式为，可得
解得，
∴过点A,B,C的抛物线的解析式；
(2) ∵△OBC绕原点顺时针旋转90°得到△OAE，△OBC沿y轴翻折得到△COD，
∴E（0，-1），D（-1,0），
可求出直线AE的解析式为,直线DC的解析式为，
∵点F为AE、DC交点，
∴F（，），
∴S_{四边形ODFE}=S_△AOE-S_△ADF=；
（3）连接OM，设M点的坐标为，

∵点M在抛物线上，∴，
∴
=

∵，
∴当时，，△AMC的面积有最大值，
所以当点M的坐标为()时，△AMC的面积有最大值．