Question

已知正方形的面积为9x²+36xy+36y²（x＞0，y＞0），且这个正方形的边长为12．
（1）求x的取值范围；
（2）若x≥2，求y的最大值；
（3）若x+y≤3，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由正方形面积得正方形边长为3x+6y，可得3x+6y=12，即x+2y=4，根据x＞0，y＞0求x的取值范围；
（2）由（1）可知y=-

1

2

x+2，而-

1

2

＜0，一次函数y随x的增大而减小，故当x=2时，y有最大值；
（3）将y=-

1

2

x+2代入x+y≤3中，解不等式求x的取值范围．

解答：解：（1）∵9x²+36xy+36y²=（3x+6y）²，
∴正方形面积得正方形边长为3x+6y，
∴3x+6y=12，
即x+2y=4，
y=-

1

2

x+2，
∵x＞0，y＞0，
∴

x＞0 - 1 2 x+2＞0

，
解得0＜x＜4；
（2）∵y=-

1

2

x+2，而-

1

2

＜0，一次函数y随x的增大而减小，
∴当x=2时，y有最大值为1；
（3）将y=-

1

2

x+2代入x+y≤3中，得x-

1

2

x+2≤3，
解得x≤2，
又x＞0，
∴0＜x≤2．

点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据正方形的面积求正方形的边长，得出x、y的函数关系式，利用一次函数的性质，解不等式（组）．