Question

11．已知抛物线y=x²+bx+c经过点B，与y轴交于点A，顶点P在直线OB上．

（1）如图1，若点B的坐标为（3，6），点P的横坐标为1，试确定抛物线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且S_△ABM=3，求点M的坐标；
（3）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PD⊥x轴于点D．将抛物线y=x²+bx+c平移，平移后的抛物线经过A，D两点，与x轴的另一个交点为C．问：如何平移抛物线y=x²+bx+c，使四边形OABC为正方形？

Answer 1

分析 （1）首先求出b的值，然后把b=-2及点B（3，6）的坐标代入抛物线解析式y=x²+bx+c求出c的值，抛物线的解析式即可求出；
（2）首先求出A点的坐标，进而求出直线AB的解析式，设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，x²-2x+3），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N，则N（x，x+3），根据三角形面积为3，求出x的值，M点的坐标即可求出；
（3）由PA=PO，OA=c，可得PD=$\frac{c}{2}$，又知抛物线y=x²+bx+c的顶点坐标为 P（-$\frac{b}{2}$，$\frac{4c-{b}^{2}}{4}$），即可求出b和c的关系，进而得到A（0，$\frac{1}{2}$b²），P（-$\frac{1}{2}$b，$\frac{1}{4}$b²），D（-$\frac{1}{2}$b，0），根据B点是直线与抛物线的交点，求出B点的坐标，再由正方形的性质求得抛物线的解析式，得出顶点坐标，由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为y=x²+mx+2，代入D的坐标，即可求得平移后的解析式，得出顶点坐标，从而求得平移的情况．

解答 解：（1）依题意，-$\frac{b}{2×1}$=1，
解得b=-2．
将b=-2及点B（3，6）的坐标代入抛物线解析式y=x²+bx+c得6=3²-2×3+c．
解得 c=3．
所以抛物线的解析式为y=x²-2x+3．

（2）∵抛物线y=x²-2x+3与y轴交于点A，
∴A（0，3）．
∵B（3，6），
可得直线AB的解析式为y=x+3．
设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，x²-2x+3），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N，则N（x，x+3）．（如图1）
∴S_△ABM=S${\;}_{△AMN+{S}_{△BMN}}$=$\frac{1}{2}$MN•x_B=3．
∴$\frac{1}{2}$[x+3-（x²-2x+3）]×3=3．
解得 x₁=1，x₂=2．
故点M的坐标为（1，2）或 （2，3）．

（3）如图2，由 PA=PO，OA=c，可得PD=$\frac{c}{2}$．
∵抛物线y=x²+bx+c的顶点坐标为P（-$\frac{b}{2}$，$\frac{4c-{b}^{2}}{4}$），
∴$\frac{4c-{b}^{2}}{4}$=$\frac{c}{2}$．
∴b²=2c．
∴抛物线y=x²+bx+$\frac{1}{2}$b²，A（0，$\frac{1}{2}$b²），P（-$\frac{1}{2}$b，$\frac{1}{4}$b²），D（-$\frac{1}{2}$b，0）．
可得直线OP的解析式为y=-$\frac{1}{2}$bx．
∵点B是抛物线y=x²+bx+$\frac{1}{2}$b²与直线y=-$\frac{1}{2}$bx的交点，
令 x²+bx+$\frac{1}{2}$b²=-$\frac{1}{2}$bx．
解得x₁=-b，x₂=-$\frac{b}{2}$．
可得点B的坐标为（-b，$\frac{1}{2}$b²）．
∵四边形OABC为正方形，
∴-b=$\frac{1}{2}$b²，
解得b₁=-2，b₂=0（舍去），
∴抛物线y=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴顶点为（1，1），
由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为y=x²+mx+2．
将点D（1，0）的坐标代入y=x²+mx+2，得1+m+2=0，解得m=-3．
则平移后的抛物线解析式为y=x²-3x+2=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$．
∴平移后的抛物线的顶点为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{4}$），
∴抛物线y=x²+bx+c向右平移$\frac{1}{2}$个单位，向下平移$\frac{5}{4}$单位，使四边形OABC为正方形．

点评 本题主要考查二次函数的综合题的知识，此题设计抛物线解析式得求法，抛物线顶点与对称轴的求法以及正方形的性质，特别是第三问设计到平移的知识，同学们作答时需认真，此题难度较大．