Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F.

(1)求证：梯形ABCD是等腰梯形；
(2)当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．

Answer 1

见解析

(1)证明：∵AD∥BC，
∴∠DEC＝∠EDA，
∠BEA＝∠EAD，
又∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴∠DEC＝∠AEB，
又∵EB＝EC，
∴△DEC≌△AEB，
∴AB＝CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形．
(2)解：当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．
证明：∵AD∥BC，BE＝EC＝AD，
∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB＝ED，∵AB⊥AC，
∴AE＝BE＝EC，∴四边形AECD是菱形．
过A作AG⊥BE于点G，

∵AE＝BE＝AB＝2，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，∴AG＝，
∴S_菱形AECD＝EC·AG＝2×＝2.