Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的顶点D关于射线CP的对称点G落在正方形内，连接BG并延长交边AD于点E，交射线CP于点F．连接DF，AF，CG．

（1）试判断DF与BF的位置关系，并说明理由；

（2）若CF＝4，DF＝2，求AE的长；

（3）若∠ADF＝2∠FAD，求tan∠FAD的值．

Answer 1

【答案】(1)DF⊥BF，见解析；(2)；(3)2﹣

【解析】

(1)由轴对称的性质可得CD=CG，DF=FG，由“SSS”可证△CDF≌△CGF，可得∠CDF=∠CGF，由等腰三角形的性质和四边形内角和定理可求∠DFB=90°，可得结论；

(2)过点C作CH⊥BF于H，由等腰直角三角形的性质可求CH=FH=4，由勾股定理可求CG=BC=CD=2，通过证明△AEB∽△HBC，可得，即可求解；

(3)连接BD，过点F作FM⊥AD于M，作∠AFN=∠FAD，交AD于N，由题意可证点D、F、A、B四点共圆，可得∠DBF=∠DAF，∠FDA=∠FBA，可求∠FDA=30°，∠FAD=15°，利用锐角三角函数即可求解．

解：(1)DF⊥BF，

理由如下：

∵点D关于射线CP的对称点G，

∴CD=CG，DF=FG，

又∵CF=CF，

∴△CDF≌△CGF(SSS)，

∴∠CDF=∠CGF，

∵CD=CB=CG，

∴∠CGB=∠CBG，

∵∠CGB+∠CGF=180°，

∴∠CBG+∠CDF=180°，

∵∠CDF+∠DFB+∠CBF+∠DCB=360°，

∴180°+90°+∠DFB=360°，

∴∠DFB=90°，

∴DF⊥BF；

(2)如图，过点C作CH⊥BF于H，

∵△CDF≌△CGF，∠DFB=90°，

∴∠CFD=∠CFG=45°，DF=FG=2，

∵CH⊥BF，

∴∠CFH=∠FCH=45°，

∴CH=FH，

∴CF=CH=4，

∴CH=FH=4，

∴GH=FH﹣FG=2，

∴CG，

∴CD=CG=BC=AB=，

∵CB=CG，CH⊥BG，

∴BH=GH=2，

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠CBH，

又∵∠DAB=∠CHB=90°，

∴△AEB∽△HBC，

∴，

∴，

∴AE=；

(3)连接BD，过点F作FM⊥AD于M，作∠AFN=∠FAD，交AD于N，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABD=∠ADB=45°，

∵∠DFB=∠DAB=90°，

∴点D、F、A、B四点共圆，

∴∠DBF=∠DAF，∠FDA=∠FBA，

∵∠ABD=∠FBD+∠FBA=∠FDA+∠DAF=45°，∠ADF=2∠FAD，

∴∠FDA=30°，∠FAD=15°，

∵∠AFN=∠FAD=15°，

∴∠FNM=30°，

又∵FM⊥AD，

∴NM=FM，FN=2MF=AN，

∴AM=AN+MN=(2+)FM，

∴tan∠FAD=．