Question

（2007•威海）如图，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求∠A₁E₂A₂+∠A₄E₂C₄+∠A₄E₅C₄的度数．

Answer 1

【答案】分析：要求∠A₁E₂A₂+∠A₄E₂C₄+∠A₄E₅C₄的度数，不能把其中每个角度数求出，只能把这几个角的和转换成等于一个已知角．所以连接A₃E₂，容易证明Rt_△A3A2E2≌Rt_△A1A2E2，得到∠A₃E₂A₂=∠A₁E₂A₂．再通过利用勾股定理计算证明可以得到△A₄C₄E₅≌△A₃C₃E₂，这样∠A₃E₂C₃=∠A₄E₅C₄，再利用图形的已知条件进行转换可以得到：∠A₁E₂A₂+∠A₄E₂C₄+∠A₄E₅C₄=∠A₂E₂C₄=45°．
解答：解：连接A₃E₂．
∵A₃A₂=A₁A₂，A₂E₂=A₂E₂，∠A₃A₂E₂=∠A₁A₂E₂=90°，
∴Rt△A₃A₂E₂≌Rt△A₁A₂E₂（SAS）．
∴∠A₃E₂A₂=∠A₁E₂A₂．（3分）
由勾股定理，得，，
∵A₄C₄=A₃C₃=2，
∴△A₄C₄E₅≌△A₃C₃E₂（SSS）．
∴∠A₃E₂C₃=∠A₄E₅C₄．（6分）
∴∠A₁E₂A₂+∠A₄E₂C₄+∠A₄E₅C₄=∠A₃E₂C₄+∠A₄E₂C₄+∠A₃E₂C₃=∠A₂E₂C₄．
由图可知△E₂C₂C₄为等腰直角三角形．
∴∠A₂E₂C₄=45度．
即∠A₁E₂A₂+∠A₄E₂C₄+∠A₄E₅C₄=45°（9分）．
点评：此题要多次应用全等三角形的判定与性质，把题目要求的几个角之和转换到等于一个知道具体度数的角．