Question

2．九年级（1）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售的相关信息如图，已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为W（单位：元）．

时间x（天）	1	30	60	90
每天销售量 p（件）	198	140	80	20

（1）售价y（元）与时间x（天）之间的函数关系式是$y=\left\{\begin{array}{l}x+40（{1≤x≤50，且x为整数}）\\ 90（{50≤x≤90，且x为整数}）\end{array}\right.$；
（2）求W与x的函数关系式；
（3）销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润．

Answer 1

分析 （1）当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50≤x≤90时，y=90；
（2）由（1）和结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n，套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出W关于x的函数关系式；
（3）根据W关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题．当1≤x≤50时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内W的最大值；当50≤x≤90时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内W的最大值，两个最大值作比较即可得出结论．

解答 解：（1）当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，
将（0，40）、（50，90）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=40}\\{50k+b=90}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=40}\end{array}\right.$，
∴此时商品的售价y与时间x的函数关系式为y=x+40；
当50≤x≤90时，y=90．
∴商品的售价y与时间x的函数关系式为$y=\left\{\begin{array}{l}x+40（{1≤x≤50，且x为整数}）\\ 90（{50≤x≤90，且x为整数}）\end{array}\right.$，
故答案为：$y=\left\{\begin{array}{l}x+40（{1≤x≤50，且x为整数}）\\ 90（{50≤x≤90，且x为整数}）\end{array}\right.$；

（2）由数据可猜测：每天的销售量p与时间x成一次函数关系
设p=mx+n（m、n为常数，且m≠0），
∵p=mx+n过点（60，80）、（30，140），
∴$\left\{\begin{array}{l}60m+n=80\\ 30m+n=140\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}m=-2\\ n=200\end{array}\right.$，
∴p=-2x+200，
将（1，198）、（90，20）代入，符合关系式
∴p=-2x+200（1≤x≤90，且x为整数），
当1≤x≤50时，W=（y-30）•p=（x+40-30）（-2x+200）=-2x²+180x+2000；
当50≤x≤90时，W=（90-30）（-2x+200）=-120x+12000
综上，每天的销售利润W与时间x的函数关系式为$W=\left\{\begin{array}{l}-2x+180x+2000（{1≤x≤50，且x为整数}）\\-120x+12000（{50≤x≤90，且x为整数}）\end{array}\right.$，
（3）当1≤x≤50时，W═-2x²+180x+2000=-2（x-45）²+6050；
∵a=-2＜0且1≤x≤50，
∴当x=45时，W取得最大值，最大值为6050元．
当50≤x≤90时，W=-120x+12000，
∵k=-120＜0，W随x增大而减小，
∴当x=50时，W取最大值，最大值为6000元．
∵6050＞6000
∴当x=45时，W最大，最大值为6050元．
即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元，

点评 本题考查了一次函数的应用、二次函数的性质以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）分段找出y关于x的函数关系式；（2）根据销售利润=单件利润×销售数量找出W关于x的函数关系式；（3）利用一次（二次）函数的性质解决最值问题．