Question

问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5分米，高AB为5分米，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：
路线1：侧面展开图中的线段AC．如图（2）所示：设路线1的长度为l₁，则l₁²=AC²=AB²+BC²=5²+（5π）²=25+25π²
路线2：高线AB+底面直径BC．如图（1）所示：设路线2的长度为l₂，则l₂²=（AB+BC）²=（5+10）²=225，∵l₁²-l₂²＞0，
∴l₁²＞l₂²，∴l₁＞l₂，所以要选择路线2较短．

（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1分米，高AB为5分米”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：
路线1：l₁²=AC²=

25+π²

；
路线2：l₂²=（AB+BC）²=

49

．∴l₁

＜

l₂ （ 填＞或＜），所以应选择路线

1

（填1或2）较短．
（2）请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短．

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理易得路线1：l₁²=AC²=高²+底面周长一半²；路线2：l₂²=（高+底面直径）²；让两个平方比较，平方大的，底数就大．
（2）根据（1）得到的结论让两个代数式分三种情况进行比较即可．

解答：解：（1）路线1：l₁²=AC²=25+π²；
路线2：l₂²=（AB+BC）²=49．
∵l₁²＜l₂²，
∴l₁＜l₂，
∴选择路线1较短
（2）l₁²=AC²=AB²+

BC

²=h²+（πr）²，
l₂²=（AB+BC）²=（h+2r）²，
l₁²-l₂²=h²+（πr）²-（h+2r）²=r（π²r-4r-4h）=r[（π²-4）r-4h]；
r恒大于0，只需看后面的式子即可．
当r=

4h

π2-4

时，l₁²=l₂²；
当r＞

4h

π2-4

时，l₁²＞l₂²；
当r＜

4h

π2-4

时，l₁²＜l₂²．
根据r的取值，则可知当r＞

4h

π2-4

时，选择l₂，当r＜

4h

π2-4

时，选择l₁，当r=

4h

π2-4

时，选择l₁与l₂．
故答案为：25+π²；49，＜，1．

点评：此题考查了平面展开-最短路径问题，比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便，比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．注意运用类比的方法做类型题．