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如图,已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线,这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B,且OA=OB=1,这条曲线是函数y=数学公式的图象在第一限内的一个分支,点P是这条曲线的任意一点,它的坐标是(a,b),由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN(点M、N为垂足)分别与直线AB相交于点E和F.
(1)求△OEF的面积(a,b的代数式表示);
(2)△AOF与△BOE是否一定相似?如果一定相似,请证明;如果不一定相似,请说明理由;
(3)当点P在曲线上移动时,△OEF随之变动,指出在△OEF的三个内角中,是否有大小始终保持不变的角?若有,请求出其大小;若没有,请说明理由.

解:(1)根据题意,易知:直线AB的解析式为y=-x+1,
点E的坐标是(a,1-a),点F的坐标是(1-b,b),
当PM、PN与线段AB都相交时,如图1,
∴S△EOF=S△AOB-S△AOE-S△BOF
=
=
当PM、PN中有一条与AB相交,另一条与BA延长线或AB延长线相交时,如图2和图3,
∴S△EOF=S△FOA+S△AOE=×1×b+×1×(a-1)=
∴S△EOF=S△FOB+S△BOE=
即S△EOF=

(2)△AOF和△BEO一定相似.
∵如图1,OA=OB=1,
∴∠OAF=∠EBO,
∴BE=BA-AE=
AF=BA-BF=
∵点P是函数图象上任意一点,
,即2ab=1,
b=1即,AF•BE=OB•OA,

∴△AOF∽△BEO,
∵对图2,图3同理可证,
∴△AOF∽△BEO;

(3)当点P在曲线上移动时,在△OEF中,∠EOF一定等于45°,
由(2)知,△AOF∽△BEO,
∴∠AFO=∠BOE,
如图1,在△BOF中,∠AFO=∠BOF+∠B,
而∠BOE=∠BOF+∠EOF,
∴∠EOF=∠B=45°,
对图2,图3同理可证,
∴∠EOF=45°.
分析:(1)欲求△OEF的面积,只要求出E、F坐标即可.根据矩形性质、直线AB解析式容易求出;
(2)根据题意易知∠A=∠B,要证△AOF与△BOE相似,只证夹边对应成比例即可;
(3)应用三角形内角和定理及内外角关系可求∠EOF=45°是一定值,即解.
点评:此题难度中等,考查反比例函数的图象和性质及相似三角形性质判定.同学们只有熟练掌握这些知识点,才能正确的解答.
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