Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且|AB|=3，sin∠OAB=．
（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；
（2）在（1）中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将点O、点A分别变换为点Q（-2k，0）、点R（5k，0）（k＞1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为S_△QMN，△QNR的面积S_△QNR，求S_△QMN：S_△QNR的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求过O、C、A三点的抛物线解析式，需要先求出C点的坐标，过B作BD⊥x轴于D，在Rt△ABD中，通过解直角三角形，可求得B点坐标，然后根据关于x轴对称的点的坐标特征，得到点C的坐标，从而利用待定系数法来求得该抛物线的解析式．
（2）若以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形，则此四边形中，必有一组对边平行，且不相等；可分别过O、C、A作AC、OA、OC的平行线，那么所求的P点，必在这些平行线与抛物线的交点中，然后再分别判定所得四边形的平行边是否相等即可，若相等，则所得四边形为平行四边形，不符合题意，若不相等，则所求四边形为梯形，那么所作平行线与抛物线的交点即为所求的P点．
（3）此题可首先表示出抛物线的解析式，然后分两种情况：①抛物线开口向上，②抛物线开口向下；解法一致，首先得到M、N、Q、R的坐标，△QNR的面积可直接求出，而△QMN的面积可通过作x轴的垂线，利用割补法来求得；进而可得到它们的面积比．
解答：解：（1）如图，过点B作BD⊥OA于点D．在Rt△ABD中，
∵|AB|=，sin∠OAB=，
∴|BD|=|AB|•sin∠OAB=×=3．
又由勾股定理，得=
∴|OD|=|OA|-|AD|=10-6=4．
∵点B在第一象限，
∴点B的坐标为（4，3）． …3分
设经过O（0，0）、C（4，-3）、A（10，0）三点的抛物线的函数表达式为y=ax²+bx（a≠0）．
由
∴经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式为．…2分

（2）假设在（1）中的抛物线上存在点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形
①∵点C（4，-3）不是抛物线的顶点，
∴过点C作直线OA的平行线与抛物线交于点P₁．则直线CP₁的函数表达式为y=-3．
对于，
令y=-3则得x=4或x=6．
∴
而点C（4，-3），
∴P₁（6，-3）．
在四边形P1AOC中，CP₁∥OA，显然|CP₁|≠|OA|．
∴点P₁（6，-3）是符合要求的点． …1分
②若AP₂∥CO．
设直线CO的函数表达式为y=k₁x．
将点C（4，-3）代入，
得4k₁=-3
∴
∴直线CO的函数表达式为．
于是可设直线AP₂的函数表达式为．
将点A（10，0）代入，得．
∴直线AP₂的函数表达式为．
由，
即（x-10）（x+6）=0．
∴而点A（10，0），
∴P₂（-6，12）．
过点P₂作P₂E⊥x轴于点E，则|P₂E|=12．
在Rt△AP₂E中，由勾股定理，得．
而|CO|=|OB|=5．
∴在四边形P₂OCA中，AP₂∥CO，但|AP₂|≠|CO|．
∴点P₂（-6，12）是符合要求的点． …1分
③若OP₃∥CA，设直线CA的函数表达式为y=k₂x+b₂将点A（10，0）、C（4，-3）代入，
得
∴直线CA的函数表达式为．
∴直线OP₃的函数表达式为，由，
即x（x-14）=0．
∴
而点O（0，0），
∴P₃（14，7）．过点P₃作P₃E⊥x轴于点E，则|P₃E|=7．
在Rt△OP₃E中，由勾股定理，得．而|CA|=|AB|=．
∴在四边形P₃OCA中，OP₃∥CA，但|OP₃|≠|CA|．
∴点P₃（14，7）是符合要求的点． …1分
综上可知，在（1）中的抛物线上存在点P₁（6，-3）、P₂（-6，12）、P₃（14，7），
使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形． …1分

（3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下．
①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y轴的负半轴交于点N．
可设抛物线的函数表达式为y=a（x+2k）（x-5k）（a＞0）．
即y=ax²-3akx-10ak²=．
如图，过点M作MG⊥x轴于点G．
∵Q（-2k，0）、R（5k，0）、G（、N（0，-10ak²）、M，
∴|QO|=2k，|QR|=7k，|OG|=，|QG|=．
∴•|QR|•|ON|
=×7k×10ak²=35ak³．
S_△QMN=•|QO|•|ON|+（|ON|+|GM|）•|OG|-•|QG|•|GM|=
=．
∴．…2分
②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y轴的正半轴交于点N，同理，可得S_△QNM：S_△QNR=3：20．…1分
综上所知，S_△QNM：S_△QNR的值为3：20． …1分
点评：此题考查了抛物线解析式的确定、梯形的判定、三角形面积的求法等重要知识点，（2）（3）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．