Question

16．已知菱形ABCD中BD为对角线，P、Q两点分别在AB、BD上，且满足∠PCQ=∠ABD
（1）如图1，当∠BAD=90°时，求：$\frac{AP}{DQ}$的值；
（2）如图2，当∠BAD=120°时，求证：$\sqrt{3}$DQ+BP=2CD；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长CQ交AD边于点E交BA的延长线于点M，作∠DCE的平分线交AD边于点F，若$\frac{CQ}{PM}$=$\frac{5}{7}$，EF=$\frac{35}{24}$，求线段CD的长

Answer 1

分析 （1）当∠BAD=90°时四边形ABCD是正方形，易证△APC∽△DQC，则可以得到AP=$\sqrt{2}$DQ，则可求得答案；
（2）作∠QCK=∠PCQ，过B作BL∥CK，连接AC，易证△DLB∽△DQC则DL=$\sqrt{3}$DQ，然后证明△ACP≌△DCK，即可证得；
（3）设BC=5k，则MC=7k，过C作CG⊥AB于G，则∠CGB=90°，在直角△BCG中，利用三角函数求得BG，CG，然后在直角△MCG中，利用勾股定理求得MG的长，证明△AME∽△DCE，根据相似三角形的对应边的比相等求得AE的长，延长CF、BM交于H，可以证得△DFC∽△AFH，求得AF的长，根据EF=AF-AE求得k的值，过C作CN⊥BD于N，证明△EDQ∽△CBQ，求得QD的长，即可求解．

解答 解：
（1）如图1，连接AC，在菱形ABCD中，
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形．
∴∠PCQ=∠CDQ=45°，∠PAC=∠QDC=∠ACD=45°
∴∠ACP+∠ACQ=∠ACQ+∠QCD=45°，
∴∠ACP=∠QCD
∴△APC∽△DQC，
∴$\frac{AP}{DQ}$=$\frac{AC}{CD}$=$\sqrt{2}$；

（2）如图2，作∠QCK=∠PCQ，过B作BL∥CK，连接AC．
∵∠QCK=∠ADB，
∴∠CQD=∠CKD
∵CK∥BL，
∴∠CKD=∠BLD，
∴△DLB∽△DQC．
∴DL=$\sqrt{3}$DQ，
∴CD+DK=$\sqrt{3}$DQ，
又∵四边形APCK对角互补，AC平分∠PAK，
∴△ACP≌△DCK，
∴DK=AP，
∴CD+DK=CD+AP=2CD-BP=$\sqrt{3}$DQ，
即$\sqrt{3}$DQ+BP=2CD；

（3）在菱形ABCD中，∠ABD=∠BDC=30°，
∵∠PCQ=∠ABD=30°，
∴∠PCQ=∠CDQ．
∵BM∥CD，
∴∠PMC=∠DCQ，
∴△DQC∽△MPC
∴CQ：PM=DC：MC=5：7，
∴BC：MC=5：7．
设BC=5k，则MC=7k，如图3，过C作CG⊥AB于G，则∠CGB=90°
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°．
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴BG=$\frac{5}{2}$k，CG=$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$k．
在Rt△MGC中，MG=$\sqrt{M{C}^{2}-C{G}^{2}}$=$\frac{11}{2}$k，
∴BM=8k．
∵AB=BC=5k，
∴AM=BM-AB=3k．
∵AM∥CD，
∴∠AMC=∠DCM，
∵∠AEM=∠DEC，
∴△AME∽△DCE，
∴AM：DC=AE：DE．
∴AE=$\frac{15}{8}$k．
延长CF、BM交于H，则∠DCF=∠MHC
∵FC平分∠ECD，
∴∠ECF=∠DCF，
∴∠MCH=∠MHC，
∴MH=MC=7k，
∴AH=AM+MH=10k．
∵∠HFA=∠CFD，
∴△DFC∽△AFH，
∴DF：AF=DC：AH
∴AF=$\frac{10}{3}$k，EF=AF-AE=$\frac{35}{24}$k，
∵EF=$\frac{35}{24}$k，
∴k=1．
∴DC=5．
过C作CN⊥BD于N，
则∠CND=90°．
∵∠CDN=30°，
∴CN=$\frac{5}{2}$，ND=$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$；
∵BC=CD，
∴BD=2ND=5$\sqrt{3}$；
∵∠DQE=∠BQC，∠CBD=∠EDQ，
∴△EDQ∽△CBQ，
∴ED：BC=DQ：QB，
∴QD=$\frac{5}{13}$BD，
∴QD=$\frac{25}{13}$$\sqrt{3}$．
∵2CD-BP=$\sqrt{3}$DQ，
∴BP=$\frac{55}{13}$．

点评 本题为相似形的综合应用，涉及正方形、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质及方程思想等知识．在（1）中证得△APC∽△DQC是解题的关键，在（2）中构造△DLB∽△DQC，证得CD+DK=$\sqrt{3}$DQ是解题的关键，在（3）中利用相似三角形的性质求得CD的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．