Question

【题目】我们提供如下定理：在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，

如图(1)，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB．

请利用以上定理及有关知识，解决下列问题：

如图(2)，边长为6的等边三角形ABC中，点D从A出发，沿射线AB方向有A向B运动点F同时从C出发，以相同的速度沿着射线BC方向运动，过点D作DE⊥AC，DF交射线AC于点G．

(1)当点D运动到AB的中点时，直接写出AE的长；

(2)当DF⊥AB时，求AD的长及△BDF的面积；

(3)小明通过测量发现，当点D在线段AB上时，EG的长始终等于AC的一半，他想当点D运动到图3的情况时，EG的长始终等于AC的一半吗?若改变，说明理由；若不变，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）AE =；（2）AD=2，S△BDF=8；（3）不变，理由见解析

【解析】

（1）根据D为AB的中点，求出AD的长，在Rt△ADE中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AE的长即可；

（2）根据题意得到设AD=CF=x，表示出BD与BF，在Rt△BDF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半得到BF=2BD，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出BD与BF的长，利用勾股定理求出DF的长，即可确定出△BDF的面积；

（3）不变，理由如下，如图，过F作FM⊥AG延长线于M，由AD=CF，且△ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义得到DE=FM，以及AE=CM，利用AAS得到△DEG与△FMC全等，利用全等三角形对应边相等得到EG=MG，根据AC=AE+EC，等量代换即可得证．

解：（1）当D为AB中点时，AD=BD=AB=3，

在Rt△ADE中，∠A=60°，

∴∠ADE=30°，

∴AE=AD=；

（2）设AD=x，∴CF=x，

则BD=6-x，BF=6+x，

∵∠B=60°，∠BDF=90°，

∴∠F=30°，即BF=2BD，

∴6+x=2×(6-x)，

解得：x=2，即AD=2，

∴BD=4，BF=8，

根据勾股定理得：DF=4，

∴S△BDF=×4×4=8；

（3）不变，理由如下，如图，过F作FM⊥AG延长线于M，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠A=∠ACB=∠FCM=60°，

在Rt△ADE和Rt△FCM中，

∴Rt△ADE≌Rt△FCM，

∴DE=FM，AE=CM，

在△DEG和△FMG，

，

∴△DEG≌△FMG，

∴GE=GM，

∴AC=AE+EC=CM+CE=GE+GM=2GE．