Question

如图，正比例函数y=2x与反比例函数y=

k

x

(k＞0)的图象相交于A、C两点，过点A作AD垂直x轴，垂足为D，过点C作CB垂直x轴，垂足为B，连接AB和CD．已知点A的横坐标为2．
（1）求k的值；
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（3）P、Q两点是坐标轴上的动点（P为正半轴上的点，Q为负半轴上的点），当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是矩形时，求P、Q两点的坐标．

Answer 1

（1）当x=2时，由y=2x得y=4，
∴k=8（4分）

（2）∵A、O、C在一条直线上，A，C在反比例函数和正比例函数的交点处，
∴点A和点C关于点O中心对称，
∴AO=OC，BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（或者解方程组y=2x和y=

8

x

，求得C点的坐标为（-2，-4）也可）（4分）

（3）∵以AC为边的四边形是矩形时，点P、Q分别在x轴和y轴上时，此时不可能；
∴只能以AC为矩形的对角线，此时P、Q分别在x轴的正、负半轴上或者在y轴的正、负半轴上．
而AO=

22+42

=2

5

，
∴以O为圆心，2

5

为半径画圆与坐标轴的交点即为所求的点．P(2

5

，0)，Q(-2

5

，0)或者P(0，2

5

)，Q(0，-2

5

)．（4分）