Question

如图，在△ABC中，AB=AC，P是BC边所在直线上一点，PD、PE分别是P到两腰所在直线的垂线段，BF是腰AC上的高，试探究当P在BC边上（如图1）和P在BC边延长线上（如图2）时，PD、PE、BF三条线段之间的数量关系，并给予证明．

Answer 1

考点：等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）连接AP，根据等腰三角形的性质可表示出S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP=

1

2

×AC×（PD+PE），同时可表示出S_△ABC=

1

2

AC×BF，从而可得到PD+PE=BF．
（2）BF+PE=PD，根据S_△APB=S_△ABC+S_△ACP进行推理，证法同（1）．

解答：（1）证明：连接AP．
∵AB=AC，
∴S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP=

1

2

AB×PD+

1

2

AC×PE=

1

2

×AC×（PD+PE），
∵S_△ABC=

1

2

AC×BF，
∴PD+PE=BF．

（2）答：BF+PE=PD．
证明：连接AP．
∵AB=AC，
∴S_△APB=S_△ABC+S_△ACP=

1

2

AC×BF+

1

2

AC×PE=

1

2

×AC×（BF+PE），
∵S_△APB=

1

2

AB×PD=

1

2

AC×PD，
∴BF+PE=PD．

点评：此题主要考查等腰三角形的性质及三角形面积的综合运用，此题的关键是利用面积公式将所求联系在一起．