Question

如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD，E为BC弧上一点，下列结论：
①∠1=∠2；②∠3=2∠4；③∠3+∠5=180°．
其中正确的是（　　）

• A、①③
• B、①②
• C、①②③
• D、②③

Answer 1

考点：圆周角定理,垂径定理,圆内接四边形的性质

专题：

分析：（1）首先由AB⊥CD，推出

BC

=

BD

，可得∠2=∠BAC，∠BAD=∠BAC，再由OC=OA，推出∠1=∠BAC，即可推出∠1=∠2；
（2）根据（1）所推出的结论，即可推出∠4=∠2=∠1=∠BAC，然后根据外角的性质可推出∠3=∠1+∠BAC，通过等量代换可得∠3=2∠1，即得∠3=2∠4；
（3）根据圆内接四边形的性质可得∠5+∠BAC=180°，由∠1=∠BAC，可推出∠3=2∠BAC，通过等量代换可推出∠5+

1

2

∠3=180°，总上所述，题目中的三个结论中正确的是①②．

解答：解：（1）∵AB⊥CD，
∴

BC

=

BD

，
∴∠2=∠BAC，∠BAD=∠BAC，
∵OC=OA，
∴∠1=∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴结论①正确，

（2）∵

BC

=

BD

，
∴∠4=∠2，
∵∠1=∠2=∠BAC，
∴∠4=∠2=∠1=∠BAC，
∴∠3=∠1+∠BAC=2∠1，
∴∠3=2∠4，
∴结论②正确，

（3）∵四边形ACEB为圆的内接四边形，
∴∠5+∠BAC=180°，
∵∠BAC=∠1，3=2∠1，
∴∠3=2∠BAC，
∠5+

1

2

∠3=180°，
∴结论③错误，
总上所述，结论①②正确，
故选B．

点评：本题主要考查圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，三角形的外角的性质等知识点，关键在于根据相关的性质定理推出相等的角，然后通过正确的等量代换即可确定正确的结论．