Question

在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），C（0，b）满足（a+1）²+

b+3

=0

（1）直接写出：a=

 

，b=

 

；
（2）点B为x轴正半轴上一点，如图1，BE⊥AC于点E，交y轴于点D，连接OE，若OE平分∠AEB，求直线BE的解析式；
（3）在（2）条件下，点M为直线BE上一动点，连OM，将线段OM逆时针旋转90°，如图2，点O的对应点为N，当点N的运动轨迹是一条直线l，请你求出这条直线l的解析式．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据非负数是性质来求a、b的值；
（2）如图1，过点O作OF⊥OE，交BE于F．构建全等三角形：△EOC≌△FOB（ASA），△AOC≌△DOB（ASA），易求D（0，-1），B（3，0）．利用待定系数法求得直线BE的解析式y=

1

3

x-1；
（3）如图2，过点M作MG⊥x轴，垂足为G，过点N作NH⊥GH，垂足为H．构建全等三角形：△GOM≌△HMN，故OG=MH，GM=NH．设M（m，

1

3

m-1），则H（m，-

2

3

m-1），
N（

4

3

m-1，-

2

3

m-1），由此求得点N的横纵坐标间的函数关系．

解答：解：（1）依题意得 a+1=0，b+3=0，
解得 a=-1，b=-3．
故答案是：-1；-3；

（2）如图1，过点O作OF⊥OE，交BE于F．
∵BE⊥AC，OE平分∠AEB，
∴△EOF为等腰直角三角形．
∵在△EOC与△FOB中，

∠1=∠2 OE=OF ∠OEC=∠OFB

，
∴△EOC≌△FOB（ASA），
∴OB=OC．
∴在△AOC与△DOB中，

∠2=∠1 OC=OB ∠AOC=∠DOB

，
∴△AOC≌△DOB（ASA），
∴OA=OD，
∵A（-1，0），B（0，-3），∴D（0，-1），B（3，0）
∴直线BD，即直线BE的解析式y=

1

3

x-1；

（3）依题意，△NOM为等腰Rt△，
如图2，过点M作MG⊥x轴，垂足为G，过点N作NH⊥GH，垂足为H，
∵△NOM为等腰Rt△，
则易证△GOM≌△HMN，
∴OG=MH，GM=NH，
由（2）知直线BD的解析式y=

1

3

x-1，
设M（m，

1

3

m-1），则H（m，-

2

3

m-1），
∴N（

4

3

m-1，-

2

3

m-1），
令

4

3

m-1=x，-

2

3

m-1=y，
消去参数m得，y=-

1

2

x-

3

2

即直线l的解析式为y=-

1

2

x-

3

2

．
（说明：此题用取特殊点计算的方法求解析式也行）

点评：本题考查了一次函数综合题型．熟练掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及旋转的性质．