Question

【题目】在△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交边BC于点D，分别过D作DE∥AC交边AB于点E，DF∥AB交边AC于点F．

(1)如图1，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；

(2)如图2，若AD=4，点H，G分别在线段AE，AF上，且EH=AG=3，连接EG交AD于点M，连接FH交EG于点N．

(i)求ENEG的值；

(ii)将线段DM绕点D顺时针旋转60°得到线段DM′，求证：H，F，M′三点在同一条直线上

Answer 1

【答案】(1) 四边形AEDF的形状是菱形，理由见解析；(1) (i) 12；(ii)见解析

【解析】

(1)由题意得出四边形AEDF是平行四边形；再根据角平分线性质及平行线性质可推出∠EAD=∠EDA；根据等角对等边得出AE=DE即可得出；

(2) (i) 连接EF交AD于点Q,根据菱形的性质得出△AEF是等边三角形，再根据余弦得出AE=AF=EF=4，根据SAS得出△AEG≌△EFH，根据全等三角形性质得出△AEG∽△NEH，最后根据相似三角形的性质得出答案；

(ii) 连接FM'，根据等边三角形的性质及旋转的性质可得出△EDM≌△FDM'，再根据全等三角形性质、等量代换即可得出答案．

(1)解：四边形AEDF的形状是菱形；理由如下：

∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠FAD，

∵DE∥AC，

∴∠EDA=∠FAD，

∴∠EAD=∠EDA，

∴AE=DE，

∴四边形AEDF是菱形；

(2)(i)解：连接EF交AD于点Q，如图2所示：

∵∠BAC=60°，四边形AEDF是菱形，

∴∠EAD=30°，AD、EF相互垂直平分，△AEF是等边三角形，

∴∠EAF=∠AEF=∠AFE=60°，

∵AD=，

∴AQ=，

在Rt△AQE中，cos∠EAQ=，即cos30°=，

∴AE=，

∴AE=AF=EF=4，

在△AEG和△EFH中，，

∴△AEG≌△EFH(SAS)，

∴∠AEG=∠EFH，

∴∠ENH=∠EFH+∠GEF=∠AEG+∠GEF=60°，

∴∠ENH=∠EAG，

∵∠AEG=∠NEH，

∴△AEG∽△NEH，

∴，

∴ENEG=EHAE=3×4=12；

(ii)证明：如图3，连接FM'，

∵DE∥AC，

∴∠AED=180°﹣∠BAC=120°，

由(1)得：△EDF是等边三角形，

∴DE=DF，∠EDF=∠FED=∠EFD=60°，

由旋转的性质得：∠MDM'=60°，DM=DM'，

∴∠EDM=∠FDM'，

在△EDM和△FDM'中，，

∴△EDM≌△FDM'(SAS)，

∴∠MED=∠DFM'，

由(i)知，∠AEG=∠EFH，

∴∠DFM'+∠EFH=∠MED+∠AEG=∠AED=120°，

∴∠HFM'=∠DFM'+∠HFE+∠EFD=120°+60°=180°，

∴H，F，M′三点在同一条直线上．