【题目】如图,在正方形ABCD中,点A的坐标为(,),点D的坐标为(,),且AB∥y轴,AD∥x轴. 点P是抛物线上一点,过点P作PE⊥x轴于点E,PF⊥y轴于点 F.
(1)直接写出点的坐标;
(2)若点P在第二象限,当四边形PEOF是正方形时,求正方形PEOF的边长;
(3)以点E为顶点的抛物线经过点F,当点P在正方形ABCD内部(不包含边)时,求a的取值范围.
【答案】(1)B (3,3);(2)正方形的边长为3;(3)>3或<.
【解析】
(1)先利用A点和D点坐标得到正方形ABCD的边长为4,然后写出B点坐标;
(2)设点P(x,x2+2x),利用正方形的性质得到PE=PF,即x2+2x=-x,然后解方程求出x即可得到正方形PEOF的边长;
(3)设P(m,m2+2m)(m≠0),则E(m,0),F(0,m2+2m),利用顶点式表示以E为顶点的抛物线解析式为y=a(x-m)2,再把F(0,m2+2m)代入得m=,接着求出抛物线y=x2+2x与BC的交点坐标为(1,3),则利用点P在正方形ABCD内部(不包含边)得到-1<m<1且m≠0,然后分别解-1<<0和0<<1即可.
(1)(,);(2)设点(,).
当四边形是正方形时,,
当点在第二象限时,有.
解得,.
∵,
∴.
∴正方形的边长为.
(3)设点(,),则点E(,),则点F(,).
∵为抛物线顶点,
∴该抛物线解析式为.
∵抛物线经过点,
∴,化简得.
对于,令,解得; 令,解得.
∵点在正方形内部,
∴<<,且.
①当<<时
由反比例函数性质知,∴<.
②当<<时
由反比例函数性质知,∴>.
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【题目】为增强学生的身体素质,教育行政部门规定每位学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时. 为了解学生参加户外活动的情况,对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查,并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图,
请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)在这次调查中共调查了多少名学生?
(2)求户外活动时间为1.5小时的人数,并补充频数分布直方图;
(3)户外活动时间的众数和中位数分别是多少?
(4)若该市共有20000名学生,大约有多少学生户外活动的平均时间符合要求?
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【题目】问题发现:
()如图①,中,,,,点是边上任意一点,则的最小值为__________.
()如图②,矩形中,,,点、点分别在、上,求的最小值.
()如图③,矩形中,,,点是边上一点,且,点是边上的任意一点,把沿翻折,点的对应点为点,连接、,四边形的面积是否存在最小值,若存在,求这个最小值及此时的长度;若不存在,请说明理由.
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【题目】善于不断改进学习方法的小迪发现,对解题进行回顾反思,学习效果更好.某一天小迪有20分钟时间可用于学习.假设小迪用于解题的时间(单位:分钟)与学习收益量的关系如图1所示,用于回顾反思的时间(单位:分钟)与学习收益的关系如图2所示(其中是抛物线的一部分,为抛物线的顶点),且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间.
(1)求小迪解题的学习收益量与用于解题的时间之间的函数关系式;
(2)求小迪回顾反思的学习收益量与用于回顾反思的时间的函数关系式;
(3)问小迪如何分配解题和回顾反思的时间,才能使这20分钟的学习收益总量最大?
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【题目】现在,苏宁商场进行促销活动,出售一种优惠购物卡(注:此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款),花300元买这种卡后,凭卡可在这家商场按标价的8折购物.
(1)顾客购买多少元金额的商品时,买卡与不买卡花钱相等?在什么情况下购物合算?
(2)小张要买一台标价为3500元的冰箱,如何购买合算?小张能节省多少元钱?
(3)小张按合算的方案,把这台冰箱买下,如果商场还能盈利25%,这台冰箱的进价是多少元?
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【题目】某商店销售一种成本为20元的商品,经调研,当该商品每件售价为30元时,每天可销售200件:当每件的售价每增加1元,每天的销量将减少5件.
求销量件与售价元之间的函数表达式;
如果每天的销量不低于150件,那么,当售价为多少元时,每天获取的利润最大,最大利润是多少?
该商店老板热心公益事业,决定从每天的销售利润中捐出100元给希望工程,为保证捐款后每天剩余利润不低于2900元,请直接写出该商品售价的范围.
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【题目】在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,以BC为直径作☉O交AB于点D.
(1)求线段AD的长度;
(2)点E是线段AC上的一点,试问当点E在什么位置时,直线ED与☉O相切?请说明理由.
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【题目】如图,我校本部教师楼AD上有“育才中学”四个字的展示牌DE,某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该教师楼的高度,由于场地有限,不便测量,所以小明沿坡度i=:1的阶梯从看台前的B处前行50米到达C处,测得展示牌底部D的仰角为45°,展示牌顶部E的仰角为53°(小明的身高忽略不计),已知展示牌高DE=15米,则该教师楼AD的高度约为( )米.(参考数据:Sin37°≈0,6,cos 37°≈0,8,tan37°≈0.75,≈1.7)
A. 102.5B. 87.5C. 85D. 70
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