Question

8．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（3，-8）、（5，0）两点，并且与x轴交于M、N（M在左，N在右）两点，M、N两点的距离为6．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求以这个二次函数图象的顶点P及与x轴的两个交点M、N为顶点的三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意可知（5，0）是抛物线与x轴交点，分点M为（5，0）和点N为（5，0）两种情况得出对应的点N、M，代入函数解析式求得答案即可；
（2）求得顶点坐标，利用三角形的面积求得答案即可．

解答 解：（1）∵（5，0）是抛物线与x轴交点，M在左，N在右，M、N两点的距离为6．
∴当M为（5，0），则点N（11，0），又二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（3，-8），
得$\left\{\begin{array}{l}{25a+5b+c=0}\\{121a+11b+c=0}\\{9a+3b+c=-8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=16}\\{c=-45}\end{array}\right.$，
二次函数解析式为y=-x²+16x-45；
当N为（5，0），则点M（-1，0），又二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（3，-8），
得$\left\{\begin{array}{l}{25a+5b+c=0}\\{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=-8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
二次函数解析式为y=x²-4x-5．
（2）当y=-x²+16x-45=-（x-8）²+19，
顶点P为（8，19），
三角形的面积为$\frac{1}{2}$×6×19=57；
当y=x²-4x-5=（x-2）²-9，
顶点P为（2，-9），
三角形的面积为$\frac{1}{2}$×6×9=27．

点评 此题考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，分类探讨得出与x轴的交点坐标是解决问题的关键．