Question

如图1，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE；
（1）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（2）当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M．
①求证：AG⊥CH；
②当AD=4，DG=时，求CH的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）寻找AG、CE所在的两个三角形全等的条件，证明全等即可；
（2）①由△AGD≌△CED，可知∠1=∠2，利用对顶角相等及互余关系证明垂直；
②连接GE交AD于P，根据S_△AGD+S_△ACD=S_{四边形ACDG}=S_△ACG+S_△CGD，再分别表示四个三角形的底和高，列方程求CH．
解答：解：（1）AG=CE成立．
证明：∵四边形ABCD、四边形DEFG是正方形，
∴GD=DE，AD=DC，（1分）
∠GDE=∠ADC=90°．
∴∠GDA=90°-∠ADE=∠EDC．                     （2分）
∴△AGD≌△CED．
∴AG=CE．                                     （3分）

（2）①类似（1）可得△AGD≌△CED，
∴∠1=∠2．                                    （4分）
又∵∠HMA=∠DMC，
∴∠AHM=∠ADC=90°，
即AG⊥CH．                                    （5分）
②连接GE，交AD于P，连接CG，
由题意有，
∴AP=3，．                            （8分）
∵EG⊥AD，CD⊥AD，∴EG∥CD，
∴以CD为底边的△CDG的高为PD=1，（延长CD画高）
S_△AGD+S_△ACD=S_{四边形ACDG}=S_△ACG+S_△CGD
∴4×1+4×4=×CH+4×1
∴CH=．                                   （10分）
点评：本题综合性较强，考查了三角形全等、相似的判定及性质，解直角三角形，勾股定理等相关知识．