Question

20．如图，已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线
y=-x²+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒$\sqrt{2}$个单位的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；
（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；
（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用直线解析式确定A点和B点坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）OP=t，AQ=$\sqrt{2}$t，则PA=3-t，先判断∠QAP=45°，讨论：当∠PQA=90°时，如图①，利用等腰直角三角形的性质得PA=$\sqrt{2}$AQ，即3-t=$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$t；当∠APQ=90°时，如图②，利用等腰直角三角形的性质得AQ=$\sqrt{2}$AP，即$\sqrt{2}$t=$\sqrt{2}$•（3-t），然后分别解关于t的方程即可；
（3）如图③，延长FQ交x轴于点H，设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，-t+3），易得△AQH为等腰直角三角形，则AH=HQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AQ=t，则可表示出点Q的坐标为（3-t，t），点F的坐标为[3-t，-（3-t）²+2（3-t）+3）]，所以FQ=-t²+3t，再证明四边形PQFE为平行四边形得到EP=FQ．即3-t=3t-t²，然后解方程求出t即可得到点F的坐标；
（4）如图④所示：OP=t，AQ=$\sqrt{2}$t，则BQ=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，利用配方法得到y=-（x-1）²+4，则点M的坐标为（1，4），利用两点间的距离公式得到MB=$\sqrt{2}$，AB=3$\sqrt{2}$，AM=2$\sqrt{5}$，于是根据勾股定理的逆定理可证明∠ABM=90°，根据相似三角形的判断方法，由于∠QBM=∠BOP，则当$\frac{BM}{OP}$=$\frac{BQ}{OB}$时，△BOP∽△QBM时，即$\frac{\sqrt{2}}{t}$=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}t}{3}$或当$\frac{BM}{OB}$=$\frac{BQ}{OP}$时，△BOP∽△MBQ，即$\frac{\sqrt{2}}{3}$=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}t}{t}$，然后分别解关于t的方程即可．

解答 解：（1）当y=0时，-x+3=0，解得x=3，则A点坐标为（3，0），
当x=0时，y=-x+3=3，则B点坐标为（0，3），
将A（3，0），B（0，3）代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；
（2）OP=t，AQ=$\sqrt{2}$t，则PA=3-t，
∵OA=OB=3，∠BOA=90°，
∴∠QAP=45°．
当∠PQA=90°时，如图①，PA=$\sqrt{2}$AQ，即3-t=$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$t，解得t=1；
当∠APQ=90°时，如图②，AQ=$\sqrt{2}$AP，即$\sqrt{2}$t=$\sqrt{2}$•（3-t），解得t=$\frac{3}{2}$；
综上所述，当t=1或t=$\frac{3}{2}$时，△PQA是直角三角形；
（3）如图③，延长FQ交x轴于点H，设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，-t+3），
易得△AQH为等腰直角三角形，
∴AH=HQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{2}$t=t，
∴点Q的坐标为（3-t，t），点F的坐标为[3-t，-（3-t）²+2（3-t）+3）]，
∴FQ=-（3-t）²+2（3-t）+3）-t=-t²+3t，
∵EP∥FQ，EF∥PQ，
∴四边形PQFE为平行四边形，
∴EP=FQ．即3-t=3t-t²，解得t₁=1，t₂=3（舍去），
∴点F的坐标为（2，3）；
（4）存在．
如图④所示：OP=t，AQ=$\sqrt{2}$t，则BQ=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴点M的坐标为（1，4），
∴MB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
而AB=3$\sqrt{2}$，AM=$\sqrt{（1-3）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AB²+BM²=AM²，
∴△ABM为直角三角形，∠ABM=90°，
∵∠QBM=∠BOP，
∴当$\frac{BM}{OP}$=$\frac{BQ}{OB}$时，△BOP∽△QBM时，即$\frac{\sqrt{2}}{t}$=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}t}{3}$，
整理得t²-3t+3=0，△=3²-4×1×3＜0，方程无实数解：
当$\frac{BM}{OB}$=$\frac{BQ}{OP}$时，△BOP∽△MBQ，即$\frac{\sqrt{2}}{3}$=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}t}{t}$，解得t=$\frac{9}{4}$，
综上所述，当t=$\frac{9}{4}$时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质和平行四边形的判定与性质；会利用待定系数法求抛物线解析式；会利用勾股定理的逆定理判断直角三角形，灵活应用相似三角形的判定方法；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式；会运用分类讨论的思想解决数学问题．