Question

（2008•达州）含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕直角顶点C沿逆时针方向旋转角α（∠α＜90°），再沿∠A的对边翻折得到△A′B′C，AB与B′C交于点M，A′B′与BC交于点N，A′B′与AB相交于点E．
（1）求证：△ACM≌△A′CN．
（2）当∠α=30°时，找出ME与MB′的数量关系，并加以说明．

Answer 1

分析：（1）要证△ACM≌△A'CN，根据已知，只需证∠ACM=∠A′CN．
很明显都用90°减去∠BCB′就可以得到．再加上∠A=∠A′，AC=A′C，即可证三角形全等．
（2）根据题意可知，∠MCN=∠α=30°，则∠AMC=∠MCN+∠B=60°，那么∠BME=60°．
而∠B′=30°，显然在Rt△MB′E中，ME=$\frac{1}{2}$MB′．

解答：证明：（1）∵∠A=∠A′，AC=A′C，∠ACM=∠A'CN=90°-∠MCN，
∴△ACM≌△A'CN．

（2）在Rt△ABC中
∵∠B=30°，∴∠A=90°-30°=60°．
又∵∠α=30°，∴∠MCN=30°，
∴∠ACM=90°-∠MCN=60°．
∴∠EMB′=∠AMC=∠A=∠MCA=60°．
∵∠B′=∠B=30°，
所以三角形MEB′是Rt△MEB′，且∠B′=30°．
所以MB′=2ME．

点评：本题利用了全等三角形的判定和性质，旋转和对折后得到的图形和原来的图形全等的知识．