Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，这条抛物线的对称轴与x轴交于点C，点P为射线CB上一个动点（不与点C重合），点D为此抛物线对称轴上一点，且?CPD=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，△PCD的面积为S，求S与m之间的函数关系式；
（3）过点P作PE⊥DP，连接DE，F为DE的中点，试求线段BF的最小值．

Answer 1

（1）；（2）（m<3）；（3）．

试题分析：（1）由抛物线过点，根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，应用待定系数法求解即可.
（2）证明△PCD是等边三角形，用m表示CP和PG，由即可求得S与m之间的函数关系式.
（3）通过证明△CPF≌△CDF得∠PCF=∠DCF，根据垂直线段最短的性质知线段BF 的最小值为点B到直线CF的距离．
（1）依题意，得 ，解得 .
∴抛物线的解析式为，即．
（2）∵，∴抛物线的对称轴为．∴C（3，0）．
∵，∴．∴．
∴∠OCB=．∴∠PCD=．
∵∠CPD=，∴∠CDP=．∴△PCD是等边三角形．
如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，PG∥x轴，交CD于点G，
∵点P的横坐标为m，∴OQ=m，CQ=3-m．
∴，PG=CQ=3-m．
∴，即（m<3）．

（3）如图，连接PF、CF．
∵PE⊥DP，F为DE的中点，∴PF==DF．
∵CP=CD，CF=CF，∴△CPF≌△CDF．∴∠PCF=∠DCF．
∴点F在∠PCD的平分线所在的直线上．
∴BF的最小值为点B到直线CF的距离．
∵∠OCB=∠BCF=，∴点B到直线CF的距离等于OB．
∴BF的最小值为．